2024年北京市中考数学二模分类汇编——几何综合。
与中点有关的问题。
1.(昌平24) 如图，d是△abc中ab边的中点，△bce和△acf都是等边三角形，m、n分别是ce、cf的中点。
1）求证：△dmn是等边三角形；
2）连接ef，q是ef中点，cp⊥ef于点p.
求证：dp＝dq.
同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面。
两位同学的解题思路作为参考：
小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造。
三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要。
证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△ncm绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置。
2.（丰台24）在△abc中，d为bc边的中点，在三角形内部取一点p，使得∠abp=∠acp．过点p作pe⊥ac于点e，pf⊥ab于点f．
1）如图1，当ab=ac时，判断的de与df的数量关系，直接写出你的结论；
2）如图2，当abac，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．
图1图23.(海淀25.)在矩形abcd中， 点f在ad延长线上，且df= dc, m为ab边上一点， n为md的中点， 点e在直线cf上（点e、c不重合）.
1）如图1, 若ab=bc, 点m、a重合， e为cf的中点，试**bn与ne的位置关系及的值， 并证明你的结论；
（2）如图2，且若ab=bc, 点m、a不重合， bn=ne，你在（1）中得到的两个结论是否成立， 若成立，加以证明； 若不成立， 请说明理由；
（3）如图3，若点m、a不重合，bn=ne，你在（1）中得到的结论两个是否成立， 请直接写出你的结论。
3.（密云25）已知菱形abcd的边长为1，，等边△aef两边分别交dc、cb于点e、f．
（1）特殊发现：如图1，若点e、f分别是边dc、cb的中点，求证：菱形abcd对角线ac、bd的交点o即为等边△aef的外心；
（2）若点e、f始终分别在边dc、cb上移动，记等边△aef的外心为p．
①猜想验证：如图2，猜想△aef的外心p落在哪一直线上，并加以证明；
拓展运用：如图3，当e、f分别是边dc、cb的中点时，过点p任作一直线，分别交da边于点m，bc边于点g，dc边的延长线于点n，请你直接写出值．
旋转变换在几何证明应用。
1.（延庆24）（1）如图1：在△abc中，ab=ac，当∠abd=∠acd=60°时，猜想ab与bd+cd数量关系，请直接写出结果。
2）如图2：在△abc中，ab=ac，当∠abd=∠acd=45°时，猜想ab与bd+cd数量关系并证明你的结论；
3）如图3：在△abc中，ab=ac，当∠abd=∠acd=（20°≤≤70°）时，直接写出ab与bd+cd数量关系(用含的式子表示)。
2.（通州23）（1）已知：如图1，是⊙的内接正三角形，点为弧bc上一动点，求证：
2）如图2，四边形是⊙的内接正方形，点为弧bc上一动点，求证：
3）如图3，六边形是⊙的内接正六边形，点为弧bc上一动点，请你写出pa，pb，pc三者之间的数量关系表达式．（不需要证明）
3.（平谷24）如图1，若四边形abcd、gfed都是正方形，显然图中有ag=ce，ag⊥ce．
1）当正方形gfed绕d旋转到如图2的位置时，ag=ce是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
2）当正方形gfed绕d旋转到b，d，g在一条直线 （如图3）上时，连结ce，设ce分别交ag、ad于p、h ．
① 求证：ag⊥ce；
如果ad=4，dg=，求ce的长．
4.（东城24） 已知：等边中，点o是边ac,bc的垂直平分线的交点，m,n分别在直线ac, bc上，且．
1) 如图1，当cm=cn时， m、n分别在边ac、bc上时，请写出am、cn 、mn三者之间的数量关系；
2） 如图2，当cm≠cn时，m、n分别在边ac、bc上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
3) 如图3，当点m在边ac上，点n在bc 的延长线上时，请直接写出线段am、cn 、mn三者之间的数量关系。
纯添辅助线（特殊情况可用旋转变换）
1．（石景山）在△中，,是底边上一点，是线段上一点，且∠．
1) 如图1,若∠,猜想与的数量关系为。
2) 如图2,若∠，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
3）若∠，请直接写出与的数量关系。
2.（顺义24）已知：如图，d为线段ab上一点（不与点a、b重合），cd⊥ab，且cd=ab，ae⊥ab，bf⊥ab，且ae=bd，bf=ad．
1）如图1，当点d恰是ab的中点时，请你猜想并证明∠ace与∠bcf的数量关系；
2）如图2，当点d不是ab的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；
3）若∠acb=，直接写出∠ecf的度数（用含的式子表示）．
图1图2平移变换。
1.（大兴23）在△abc中，ab=ac，点p为△abc所在平面内一点，过点p分别作pe∥ac交ab于点e，pf∥ab交bc于点d，交ac于点f．
1)如图1，若点p在bc边上，此时pd=0，易证pd，pe，pf与ab满足的数量关系是pd+pe+pf=ab；当点p在△abc内时，先在图2中作出相应的图形，并写出pd，pe，pf与ab满足的数量关系，然后证明你的结论；
2)如图3，当点p在△abc外时，先在图3中作出相应的图形，然后写出pd，pe，pf与ab满足的数量关系．（不用说明理由）
相似。1.（昌平25）如图，在rt△abc中，∠abc=90°，过点b作bd⊥ac于d，be平分∠dbc，交ac于e，过点a作af⊥be于g，交bc于f，交bd于h． （1）若∠bac=45°，求证：
①af平分∠bac；②fc=2hd．
2）若∠bac=30°，请直接写出fc与hd的等量关系．
2.（房山24）**问题：
已知ad、be分别为△abc 的边bc、ac上的中线，且ad、be交于点o.
△abc为等边三角形，如图1，则ao︰od
当小明做完⑴问后继续**发现，若△abc为一般三角形（如图2），⑴中的结论仍成立，请你给予证明。
运用上述**的结果，解决下列问题：
如图3，在△abc中，点e是边ac的中点，ad平分∠bac, ad⊥be于点f，若ad=be=4.
求：△abc的周长。
代数中方程、函数与几何。
1.（门头沟24） 有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点a顺时针旋转90°后得到矩形amef（如图1），连结bd、mf，此时他测得bd＝8cm，∠adb＝30°．
1）在图1中，请你判断直线fm和bd是否垂直？并证明你的结论；
2）小红同学用剪刀将△bcd与△mef剪去，与小亮同学继续**．他们将△abd绕点a顺时针旋转得△ab1d1，ad1交fm于点k（如图2），设旋转角为β（0°＜β90°），当△afk为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；
3）若将△afm沿ab方向平移得到△a2f2m2（如图3），f2m2与ad交于点p，a2m2与bd交于点n，当np∥ab时，求平移的距离是多少。
2.（西城区24）如图，在rt△abc中，∠c=90°，ac=6，bc=8．动点p从点a开始沿折线ac－cb－ba运动，点p在ac，cb，ba边上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为每秒3，4，5 个单位．直线l从与ac重合的位置开始，以每秒个单位的速度沿cb方向平行移动，即移动过程中保持l∥ac，且分别与cb，ab边交于e，f两点，点p与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点p第一次回到点a时，点p和直线l同时停止运动。
(1)当t = 5秒时，点p走过的路径长为 ；当t = 秒时，点p与点e重合；
(2)当点p在ac边上运动时，将△pef绕点e逆时针旋转，使得点p的对应点m落在ef上，点f的对应点记为点n，当en⊥ab时，求t的值；
(3)当点p在折线ac－cb－ba上运动时，作点p关于直线ef的对称点，记为点q．在点p与直线l运动的过程中，若形成的四边形peqf为菱形，请直接写出t的值．
3.（朝阳23）正方形abcd的边长为4，点p是bc边上的动点，点e在ab边上，且∠epb=60°，沿pe翻折△ebp得到△. f是cd边上一点，沿pf翻折△fcp得到△，使点落在射线上．
1）如图，当bp=1时，四边形的面积为 ；
2）若bp=m，则四边形的面积为 （要求：用含m的代数式表示，并写出m的取值范围）．
备用图。4.（怀柔24） 如图，在△abc中，ab＝ac＝5，bc＝6，点d为ab边上的一动点（d不与a、b重合）， 过点d作de∥bc，交ac于点e．把△ade沿直线de折叠，点a落在点处．连结，设ad＝，△ade的边de上的高为．
1）求出与的函数关系式；
2）若以点、b、d为顶点的三角形与△abc相似，求的值；
3）当取何值时，△是直角三角形．
2024年二模几何综合
密云。24 已知等腰和等腰中，acb aed 90 且ad ac 1 发现 如 图1 当点e在ab上且点c和点d重合时，若点m n分别是db ec的中点，则mn与ec的位置关系是mn与ec的数量关系是。2 若把 1 小题中的 aed绕点a旋转一定角度，如 图2 所示，连接bd和ec,并连接db ec...
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