密云。24．已知等腰和等腰中，∠acb=∠aed=90°，且ad=ac
（1）发现：如(图1)，当点e在ab上且点c和点d重合时，若点m、n分别是db、ec的中点，则mn与ec的位置关系是mn与ec的数量关系是。
（2）**：若把（1）小题中的△aed绕点a旋转一定角度，如(图2)所示，连接bd和ec,并连接db、ec的中点m、n,则mn与ec的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由；请以逆时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明位置关系成立，大兴。
25. 已知：e是线段ac上一点，ae=ab，过点e作直线ef，在ef上取一点d，使得∠edb=∠eab，联结ad.
1）若直线ef与线段ab相交于点p，当∠eab=60°时，如图1，求证：ed =ad+bd；
2）若直线ef与线段ab相交于点p，当∠eab= α0﹤α﹤90）时，如图2，请你直接写出线段ed、ad、bd之间的数量关系（用含α的式子表示）；
3）若直线ef与线段ab不相交，当∠eab=90°时，如图3，请你补全图形，写出线段ed、ad、bd之间的数量关系，并证明你的结论。
怀柔。24．已知△abc是等边三角形，e是ac边上一点，f是bc边延长线上一点，且cf=ae，连接be、ef．
1）如图1，若e是ac边的中点，猜想be与ef的数量关系为。
2）如图2，若e是线段ac上的任意一点，其它条件不变，上述线段be、ef的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．
3）如图3，若e是线段ac延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段be、ef的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．
石景山。24．将△绕点顺时针旋转得到△，的延长线与相交于点，连接．
1）如图1，若==，请直接写出与的数量。
关系；2）如图2，若＜=，猜想线段与的数量关。
系，并证明你的猜想；
3）如图3，若＜，（为常数），请直接写出的值。
（用含、的式子表示）．
解： 通州。
23．已知：△abd和△cbd关于直线bd对称（点a的对称点是点c），点e、f分别是线段bc和线段bd上的点，且点f**段ec的垂直平分线上，连接af、ae，ae交bd于点g．
1）如图l，求证：∠eaf＝∠abd；
2）如图2，当ab＝ad时，m是线段ag上一点，连接bm、ed、mf，mf的延长线交ed于点n，∠mbf＝∠baf，af＝ad，请你判断线段fm和fn之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．图1房山。
24. 边长为2的正方形的两顶点、分别在正方形efgh的两边、上(如图1)，现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时停止旋转，旋转过程中，边交于点，边交于点。
1）求边在旋转过程中所扫过的面积；
2）旋转过程中，当和平行时(如图2)，求正方形旋转的度数；
3）如图3，设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论。
顺义。24．在△abc 中， ab = ac ，∠a =30，将线段 bc 绕点 b 逆时针旋转 60得到线段 bd ，再将线段bd平移到ef，使点e在ab上，点f在ac上．
1）如图 1，直接写出 ∠abd和∠cfe 的度数；
2）在图1中证明： ae =cf；
3）如图2，连接 ce ，判断△cef 的形状并加以证明．
昌平。24．【**】如图1，在△abc中， d是ab边的中点，ae⊥bc于点e，bf⊥ac于点f，ae，bf相交于点m，连接de，df. 则de，df的数量关系为 .
拓展】如图2，在△ a b c中 ，c b = c a ，点 d是ab边的中点 ，点m在 △ a b c的内部 ，且 ∠mbc =∠mac . 过点m作me⊥bc于点e，mf⊥ac于点f，连接de，df. 求证：
de=df；
推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“cb=ca”变为“cb≠ca”，其他条件不变，试**de与df之间的数量关系，并证明你的结论。
朝阳。24. 已知∠abc=90°，d是直线ab上的点，ad=bc．
1）如图1，过点a作af⊥ab，并截取af=bd，连接dc、df、cf，判断△cdf的形状并证明；
2）如图2，e是直线bc上的一点，直线ae、cd相交于点p，且∠apd=45°，求证bd=ce．
东城。24．如图，等腰rt△abc中，∠acb=90°，ac=bc=4，p是ac边上一动点，由a向c运动（与a、c不重合），q是cb延长线上一点，与点p同时以相同的速度由b向cb延长线方向运动（q不与b重合），过p作pe⊥ab于e，连接pq交ab于d．
1）当∠bqd=30°时，求ap的长；
2）当运动过程中线段ed的长是否发生变化？如果不变，求出线段ed的长；如果变化请说明理由；
3）在整个运动过程中，设ap为x，bd为y，求y关于x的函数关系式，并求出当△bdq为等腰三角形时bd的值．
海淀。24．在中，，为平面内一动点，，，其中a，b为常数，且。将沿射线方向平移，得到，点a、b、d的对应点分别为点f、c、e.连接。
1）如图1，若在内部，请在图1中画出；
2）在（1）的条件下，若，求的长（用含的式子表示）；
3）若，当线段的长度最大时，则的大小为当线段的长度最小时，则的大小为用含的式子表示）.
图1备用图。
门头沟。24. 在△abc中，ab=ac，分别以ab和ac为斜边，向△abc的外侧作等腰直角三角形，m是bc边中点中点，连接md和me
1）如图24-1所示，若ab=ac，则md和me的数量关系是
（2）如图24-2所示，若ab≠ac其他条件不变，则md和me具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
3） 在任意△abc中，仍分别以ab和ac为斜边，向△abc的内侧作等腰直角三角形，m是bc的中点，连接md和me，请在图24-3中补全图形，并直接判断△med的形状．
平谷。24.（1）如图1，在四边形abcd中，∠b=∠c=90°，e为bc上一点，且ce=ab，be=cd，连结ae、de、ad，则△ade的形状是。
2)如图2，在，d、e分别为ab、ac上的点，连结be、cd，两线交于点p．
当bd=ac，ce=ad时，在图中补全图形，猜想的度数并给予证明．
当时，的度数。
西城。24．在△abc，∠bac为锐角，ab>ac， ad平分∠bac交bc于点d．
1）如图1，若△abc是等腰直角三角形，直接写出线段ac，cd，ab之间的数量关系；
2）bc的垂直平分线交ad延长线于点e，交bc于点f．
如图2，若∠abe=60°，判断ac，ce，ab之间有怎样的数量关系并加以证明；
如图3，若，求∠bac的度数．
丰台。24.如图1，在中，，，a=30°，点e，f分别是线段bc，ac的中点，连结ef．
1）线段与的位置关系是。
2）如图2，当绕点顺时针旋转时（），连结af，be，（1）中的结论是否仍然成立。如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
3）如图3，当绕点顺时针旋转时（），延长交于点，如果，求旋转角的度数．
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