唐山市唐山一中自主招生数学模拟试卷。
注：本卷共6页，3大题，20小题，满分150分。
一、单项选择题（本大题分5小题，每小题6分，共30分）
1．（2009·桂林）如图，正方形abcd的边长为2，将长为2的线段qr的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点q从点a出发，沿图中所示方向按abcda滑动到a止，同时点r从点b出发，沿图中所示方向按bcdab滑动到b止，在这个过程中，线段qr的中点m所经过的路线围成的图形的面积为（ ）
a．2b．4cd．π-1
2. （2010·“华约”自主招生）欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n的最小值为（ ）
a．6b．7 c．8 d．9
3．（2001·全国高中数学联赛）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的**之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的**之和小于22元，则2枝玫瑰的**和3枝康乃馨的**比较，结果是（ ）
a．2枝玫瑰**高 b．3枝康乃馨**高 c．**相同 d．不确定。
4．（2002·全国高中数学联赛）若实数x, y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为（ ）
a． 2b． 1cd．
5．（2003·全国高中数学联赛）删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是（ ）
a．2046b．2047c．2048d．2049
二、填空题（本大题分10小题，每小题6分，共60分）
6．（2014·葫芦岛）如图，正三角形abc的边长为2，点a，b在半径为的圆上，点c在圆内，将正三角形abc绕点a逆时针旋转，当点c第一次落在圆上时，点c运动的路线长是。
7．（2012·深圳）如图，rt△abc中，∠c=90°，以斜边ab为边向外作正方形abde，且正方形对角线交于点o，连接oc，已知ac=5，oc=6，则另一直角边bc的长为___
8．（2015巴彦淖尔）如图，ab为⊙o的直径，ab=ac，bc交⊙o于点d，ac交⊙o于点e，∠bac=45°，给出以下五个结论：①∠ebc=22.5°；②bd=dc；③ae=2ec；④劣弧是劣弧的2倍；⑤ae=bc，其中正确的序号是___
9．（2013烟台）如图，△abc中，ab=ac，∠bac=54°，点d为ab中点，且od⊥ab，∠bac的平分线与ab的垂直平分线交于点o，将∠c沿ef（e在bc上，f在ac上）折叠，点c与点o恰好重合，则∠oec为___度．
10．（2012·泰安）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(1,1)，(1,2)，(2,2)…根据这个规律第2012个点的横坐标为___
11．（2007·内江）如图，某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道4条，从位置a出发沿街道行进到达位置b，要求路程最短，研究共有多少种不同的走法．小东是这样想的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，如果用数字“1”表示向右行进，数字“2”表示向上行进，那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，请你思考后回答：符合要求的不同走法共有___种．
第8题图第9题图第10题图第11题图。
12．（2009·攀枝花）阅读下面的命题：
中国国家男子足球队和巴西国家男子足球队比赛，中国国家男子足球队赢得比赛这一事件是不可能事件；
到三角形三顶点距离相等的点是这个三角形三边的中垂线的交点；
一组数据-2，-1，0，1，2，3的极差是5，中位数是0和1；
如果三个正数a、b、c的三条线段满足a+b＞c，则一定可以围成一个三角形；
若点p是△abc中∠abc的平分线和外角∠ace的平分线的交点，则∠bpc=∠a．
以上命题中，正确的命题序号是将正确的命题序号全部写上）
13．（2005·全国高中数学联赛）正方形abcd的一条边在直线y=2x-17上，另外两顶点在y=x2上，则正方形面积的最小值为。
14．（2013·乐山）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n-≤x＜n+，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4．给出下列关于（x）的结论：
（1.493）=1；②（2x）=2（x）；③若（x1）=4，则实数x的取值范围是9≤x＜11；
当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）=m+（2013x）；⑤x+y）=（x）+（y）；
其中，正确的结论有填写所有正确的序号）．
15．（2010·茂名）小慧同学不但会学习，而且也很会安排时间干好家务活，煲饭、炒菜、擦窗等样样都行，是爸妈的好帮手，某一天放学回家后，她完成各项家务活及所需时间如图．
小慧同学完成以上各项家务活，至少需要___分钟．（注：各项工作转接时间忽略不计）．
三、简答题（本大题分5小题，16-17每小题15分，18-20每小题20分）
16．试求方程x2-2x-4|x-1|+4=0的四个根之和；当1＜b＜5时，再求方程x2-2x-4|x-1|+b=0的四个根之和．
17．（2003·安徽）要将29个数学竞赛的名额分配给10所学校，每所学校至少要分到一个名额．
1）试提出一种分配方案，使得分到相同名额的学校少于4所；
2）证明：不管怎样分配，至少有3所学校得到的名额相同；
3）证明：如果分到相同名额的学校少于4所，则29名选手至少有5名来自同一学校．
18．（2016·温州中学保送生测试）如图，已知两圆c1，c2，求作以线段ab长为半径的圆c3与圆c1，c2均相切，并简要说明作图过程．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹）
19．在半径为4的⊙o中，点c是以ab为直径的半圆的中点，od⊥ac，垂足为d，点e是射线ab上的任意一点，df∥ab，df与ce相交于点f，设ef=x，df=y．
1）如图1，当点e在射线ob上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
2）如图2，当点f在⊙o上时，求线段df的长；
3）如果以点e为圆心、ef为半径的圆与⊙o相切，求线段df的长．
20．（2014·宁波）木匠黄师傅用长ab=3，宽bc=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：圆心o1，o2分别在cd，ab上，半径分别是o1c，o2a，锯两个外切的半圆拼成一个圆；
方案三：沿对角线ac将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；
方案四：锯一块小矩形bcef拼接到矩形aefd下面，并利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆。
1）写出方案一中的圆的半径；
2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？
3）在方案四中，设ce=x（0＜x＜1），圆的半径为y，求y关于x的函数解析式；
当x取何值时圆的半径最大？最大半径是多少？并说明四种方案中，哪一个圆形桌面的半径最大？
2024年重点中学自主招生数学模拟试卷参***。
一、单项选择题（本大题分5小题，每小题6分，共30分）
1．b 2．b 3．a 4．b 5．c
二、填空题（本大题分10小题，每小题6分，共60分）
三、简答题（本大题分5小题，16-17每小题15分，18-20每小题20分）
16．原方程可化为：(x2-2x+1)-4|x-1|+3=0，(x-1)2-4|x-1|+3=0，设方程的四个实数根从小到大依次为x1、x2、x3、x4，设函数f(x)=(x-1)2-4|x-1|+3，函数关于x=1对称，∴，x1+x2+x3+x4=4，同理，方程x2-2x-4|x-1|+b=0可化为：（x-1）2-4|x-1|+b-1=0，函数g(x)=(x-1)2-4|x|+b-1的图象关于x=1对称，∴方程x2-2x-4|x-1|+b=0的四个根之和也为4．
17．（1）答案不唯一，如：学校对应的名额可以分别是：1，1，1，2，2，2，3，3，7，7；
2）假设没有3所学校得到相同的名额，而每校至少要有1名，则人数最少的分配方案是：每两所学校一组依次各得1，2，3，4，5个名额，总人数为2×（1+2+3+4+5）=30，但现在只有29个名额，故不管如何分配，都至少有3所学校分得的名额相同；
3）假设每所学校分得的名额都不超过4，并且每校的名额不少于1，则在分到相同名额的学校少于4所的条件下，10所学校派出的选手数最多不会超过3×4+3×3+3×2+1×1=28，这与选手总数是29矛盾，从而至少有一所学校派出的选手数不小于5．
18．略。19．（1）连接oc
ac是⊙o的弦，od⊥ac，∴od=ad.
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