课时作业(六十)
一、选择题。
1．如图所示，pa是圆的切线，a为切点，pbc是圆的割线，且pb＝bc，则的值为( )
a．2 b.
c. d．1
答案 c2．rt△abc的斜边bc在平面α内，则△abc的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形只能是( )
a．一条直线或一个锐角三角形。
b．一条线段或一个钝角三角形。
c．一个钝角三角形。
d．一个锐角三角形。
答案 b二、填空题。
3．如图，ad是⊙o的切线，ac是⊙o的弦，过c作ad的垂线，垂足为b，cb与⊙o相交于点e，ae平分∠cab，且ae＝2，则abacbc
答案 2 3
解析 ∵∠cae＝∠eab，∠eab＝∠acb，∠acb＝∠cae＝∠eab.
又∵cb⊥ad，∴∠acb＝∠cae＝∠eab＝30°.又∵ae＝2，∴ab＝，ac＝2，bc＝3.
如图，eb、ec是⊙o的两条切线，b、c是切点，a、d是⊙o上两点，如果∠e＝46°，∠dcf＝32°，则∠a的大小为___
答案 99°
解析连结ob，oc，ac，由题意得∠oce＝∠obe＝90°，dcf＝∠dac＝32°，又∵∠e＝46°，∴boc＝134°，bac＝∠boc＝67°.∴bad＝∠bac＋∠dac＝99°.
如图，三角形abc中，ab＝ac，⊙o经过点a，与bc相切于b，与ac相交于d，若ad＝cd＝1，则⊙o的半径r
答案 解析过b点作be∥ac交圆于点e，连ae，ob并延长交ae于f，则∵bc是⊙o的切线，ae∥bc，∴bf⊥ae.又bc2＝cd×ac＝2，∴bc＝，bf＝＝.设of＝x，则。
解得r＝.
如图所示，圆o的直径ab＝6，c为圆周上一点，bc＝3，过c作圆的切线l，则点a到直线l的距离ad为。
答案 解析连结co，∵ab为直径，∴∠acb＝90°.即△abc为直角三角形，又ab＝6，bc＝3，sin∠cab＝.又∠cab＝30°，∴ac＝3，ao＝oc.
∴△aoc为等腰三角形．∴∠aco＝30°.又l为⊙o的切线，∴oc⊥l，即∠dco＝90°.
∠dca＝60°.∴ad＝ac·sin60°＝.
如图，已知pa、pb是圆o的切线，a、b分别为切点，c为圆o上不与a、b重合的另一点，若∠acb＝120°，则∠apb
答案 60°
解析过c作⊙o的一直径cd，连结ad，bd，∠cad＝∠cbd＝90°.∵acd＋∠bcd＝∠acb＝120°，∠adc＝180°－∠acd－∠cad，∠bdc＝180°－∠bcd－∠cbd，∴∠adc＋∠bdc＝∠adb＝60°∴∠aob＝120°.∵pa，pb为⊙o的切线，∴∠pao＝∠pbo＝90°.
∴apb＋∠aob＝180°.∴apb＝60°.
8．(2010·天津卷，理)如图，四边形abcd是圆o的内接四边形，延长ab和dc相交于点p.若＝，＝则的值为___
答案 解析由题意可知△pbc∽△pda，于是由＝＝，
9．(2010·陕西卷，理)
如图，已知rt△abc的两条直角边ac，bc的长分别为3 cm,4 cm，以ac为直径的圆与ab交于点d，则。
答案 解析由题意得bc＝4，ac＝3，∴ab＝5.
由切割线定理得：bc2＝bd·ab，bd＝，ad＝5－＝，
三、解答题。
2011·南通)如图，pa切⊙o于点a，d为pa的中点，过点d引割线交⊙o于b、c两点．求证：∠dpb＝∠dcp.
证明因为pa与圆相切于a，所以da2＝db·dc.因为d为pa中点，所以dp＝da.所以dp2＝db·dc，即＝.
因为∠bdp＝∠pdc，所以△bdp∽△pdc.
所以∠dpb＝∠dcp.
11．(2011·盐城)在△abc中，已知cm是∠acb的平分线，△amc的外接圆交bc于点n.若ac＝ab，求证：bn＝2am.
求证如图，在△abc中，因为cm是∠acb的平分线，所以＝.又已知ac＝ab，所以＝.①
又因为ba与bc是圆o过同一点b的弦，所以bm·ba＝bn·bc，即＝.②
由①②可知，＝，所以bn＝2am.
如图，已知ad为圆o的直径，直线ba与圆o相切于点a，直线ob与弦ac垂直于相交于点g，与弧ac相交于m，连结dc，ab＝10，ac＝12.
1)求证：ba·dc＝gc·ad；
2)求bm.
解析 (1)证明：因为ac⊥ob，所以∠agb＝90°
又ad是圆o的直径，所以∠dca＝90°
又因为∠bag＝∠adc(弦切角等于同弧所对的圆周角)，所以rt△agb∽rt△dca，所以＝.
又因为og⊥ac，所以gc＝ag.
所以＝，即ba·dc＝gc·ad.
2)因为ac＝12，所以ag＝6，因为ab＝10，所以bg＝＝8.
由(1)知：rt△agb∽rt△dca，所以＝.
所以ad＝15，即圆的直径2r＝15.
又因为ab2＝bm·(bm＋2r)，即bm2＋15bm－100＝0.
解得bm＝5.
13．如图，ab是⊙o的直径，点p在ba的延长线上，弦cd⊥ab于e，∠poc＝∠pce.
1)求证：pc是⊙o的切线．
2)若oe∶ea＝1∶2，pa＝6，求⊙o半径．
解析 (1)△ocp与△cep中，∠poc＝∠pce，∠opc＝∠cpe，∠ocp＝∠cep.
cd⊥ab，∴∠cep＝90°，∴ocp＝90°.
又c点在圆上，∴pc是⊙o的切线．
2)解法1：设oe＝x，则ea＝2x，oc＝oa＝3x.
∠coe＝∠aoc，∠oec＝∠ocp＝90°，△oce∽△opc，∴＝
即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1，∴oa＝3x＝3，即圆的半径为3.
解法2：由(1)知pc是⊙o的切线，∴∠ocp＝90°.
又∵cd⊥op，由射影定理知oc2＝oe·op，以下同解法1.
14．(2010·辽宁卷，理)(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲。
如图，△abc的角平分线ad的延长线交它的外接圆于点e.
1)证明：△abe∽△adc；
2)若△abc的面积s＝ad·ae，求∠bac的大小．
解析 (1)由已知条件，可得∠bae＝∠cad.
因为∠aeb与∠acb是同弧上的圆周角，所以∠aeb＝∠acd.
故△abe∽△adc.
2)因为△abe∽△adc，所以＝，即ab·ac＝ad·ae.
又s＝ab·acsin∠bac，且s＝ad·ae，故ab·acsin∠bac＝ad·ae.
则sin∠bac＝1，又∠bac为三角形内角，所以∠bac＝90°.
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