创新演练。一、选择题。
1．在区间上随机取一个x，sin x的值介于－与之间的概率为( )
ab. c. d.
a [由－＜sin x＜，x∈，得－＜x＜.所求概率为＝.]
2．(2014·福建莆田模拟)任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是。
a. b.
c. d.
c [依题意可知，第四个正方形的边长是第一个正方形边长的倍，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的倍，由几何概型可知，所投点落在第四个正方形中的概率为，故选c.]
3．(2014·滨州模拟)在区间[0，1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为。
a. b.
c. d.
c [要使该函数无零点，只需a2－4b2＜0，即(a＋2b)(a－2b)＜0.
a，b∈[0，1]，a＋2b＞0，a－2b＜0.
作出的可行域，易得该函数无零点的概率p＝＝.
4．已知函数f(x)＝kx＋1，其中实数k随机选自区间[－2，1]．x∈[0，1]，f(x)≥0的概率是。
a. b.
c. d.
c [由x∈[0，1]，f(x)≥0得有－1≤k≤1，所以所求概率为＝.]
5．(2014·太原模拟)若实数a，b满足a2＋b2≤1，则关于x的方程x2－ax＋b2＝0有实数根的概率是。
a. b.
c. d．1
c [由原方程有实根得a2－3b2≥0(a－b)(a＋b)≥0，则整个基本事件空间可用点(a，b)所在圆形的面积来度量，为以原点为圆心，以1为半径的圆，事件“方程有实根”可用不等式组对应平面区域的面积来度量，如图易知两扇形面积占面积的，由几何概型可知其概率即为。]
二、填空题。
6．(2014·郑州模拟)若不等式组表示的平面区域为m，x2＋y2≤1所表示的平面区域为n，现随机向区域m内抛一粒豆子，则豆子落在区域n内的概率为___
解析 ∵y＝x与y＝－x互相垂直，m的面积为3，而n的面积为，所以概率为＝.
答案 7．投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为米的小方块．试验是向板中投镖，事件a表示投中阴影部分，则事件a发生的概率为___
解析 ∵事件a所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应．∴由几何概型的概率公式得p(a)＝＝
答案 三、解答题。
8．已知集合a＝[－2，2]，b＝[－1，1]，设m＝，在集合m内随机取出一个元素(x，y)．
1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；
2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率．
解析 (1)集合m内的点形成的区域面积s＝8.因x2＋y2＝1的面积s1＝π，故所求概率为p1＝＝.
2)由题意≤
即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积s2＝4，所求概率为p＝＝.
9．(2014·长沙模拟)已知向量a＝(－2，1)，b＝(x，y)．
1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；
2)若x，y在连续区间[1，6]上取值，求满足a·b＜0的概率．
解析 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1，1)，(2，3)，(3，5)共3个．
故满足a·b＝－1的概率为＝.
2)若x，y在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为ω＝；
满足a·b＜0的基本事件的结果为a＝；画出图形，矩形的面积为s矩形＝25，阴影部分的面积为s阴影＝25－×2×4＝21，故满足a·b＜0的概率为。
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