创新演练。一、选择题。
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为。
a.，0b．－2，0
c. d．0
d [当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；
当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．
综上函数f(x)的零点只有0.]
2．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f·f<0，则方程f(x)＝0在[－1，1]内。
a．可能有3个实数根 b．可能有2个实数根。
c．有唯一的实数根 d．没有实数根。
c [由f(x)在[－1，1]上是增函数，且f·f<0，知f(x)在上有唯一零点，所以方程f(x)＝0在[－1，1]上有唯一实数根．]
3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表：
则函数f(x)存在零点的区间有。
a．区间[1，2]和[2，3]
b．区间[2，3]和[3，4]
c．区间[2，3]、[3，4]和[4，5]
d．区间[3，4]、[4，5]和[5，6]
c [因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以在区间[2，3]，[3，4]，[4，5]内有零点．]
4．(2014·哈师大模拟)若定义在r上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]内的零点个数是。
a．5 b．7
c．8 d．10
c [依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象，结合图象得，当x∈[－5，5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]内的零点个数是8.]
5．(2014·广东韶兴一模)已知函数满足f(x)＝2f，当x∈[1，3]时，f(x)＝ln x，若在区间内，函数g(x)＝f(x)－ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是。
a. b.
c. d.
a [当x∈时，则1＜≤3，f(x)＝2f＝2ln＝－2ln x.
f(x)＝g(x)＝f(x)－ax在区间内有三个不同零点，即函数 y＝与y＝a的图象在上有三个不同的交点．
当x∈时，y＝－，y′＝＜0，y＝－在上递减，y∈(0，6ln 3]．
当x∈[1，3]时，y＝，y′＝，y＝在[1，e]上递增，在[e，3]上递减．
结合图象，所以y＝与y＝a的图象有三个交点时，a的取值范围为。]
二、填空题。
6．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈__第二次应计算___
解析因为f(x)＝x3＋3x－1是r上的连续函数，且f(0)<0，f(0.5)>0，则f(x)在x∈(0，0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．
答案 (0，0.5) f(0.25)
7．(2014·南通质检)已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2，3)内，则实数k的取值范围是___
解析因为δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈r恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点x＝－1(2，3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在。
2，3)内，则必有f(2)·f(3)<0，即2答案 (2，3)
8．(2014·太原模拟)若函数f(x)＝|x|＋－a>0)没有零点，则实数a的取值范围为。
解析在平面直角坐标系中画出函数y＝(a＞0)的图象(其图象是以原点为圆心、为半径的圆，且不在x轴下方的部分)与y＝－|x|的图象．观察图形可知，要使这两个函数的图象没有公共点，则原点到直线y＝－x的距离大于，或》.又原点到直线y＝－x的距离等于1，所以有0<<1，或＞，由此解得02.
所以，实数a的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞
答案 (0，1)∪(2，＋∞
三、解答题。
9．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
解析 (1)当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．
2)当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．则δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．
10．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．
解析设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0，2]，若f(x)＝0在区间[0，2]上有一解，f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m<－.
若f(x)＝0在区间[0，2]上有两解，则。
－≤m≤－1.
由①②可知m的取值范围(－∞1]．
11．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0)．
1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；
(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
解析 (1)g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞所以m≥2e.
2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，则g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．
f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其图象对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，又由(1)知g(x)在x＝e处取得最小值2e，故当m－1＋e2>2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞
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