2012高考数学压轴题a 原创作者： 末日 2011.07.02对于实数λ, 若无穷数列满足以下条件：对任意的nn+,则称数列为数列，其中。
1)判断数列，是否为数列，并明理由；
2)请写出一个数列，并加以证明；
3)对任意实数，且， 证明：下列不等式对任意正整数n恒成立。
4)有兴趣的朋友可试做，看看你能证出几个。
解答：(1) 不是数列，由题意： 数列的首项。又∵,不符合题意。∴不是。
是数列。 ∵显然， 而 , 则满足条件。
由条件知，只需证明 :
当n=1时，显然成立。 当时，满足条件。 因此是数列。
(2) 答案不唯一，如。
备注：只存在唯一的等比数列是数列，即，原因请读者自行**。)(以下仅提供前两者证明过程，其它数列请自行证明。)1.证明是数列。
∵.由题意∵,∴满足条件。
下面证明｛｝满足条件： 即证明：
显然成立。∴满足条件。
综上可得， 是数列。
2.证明是数列。
.由题意∵,∴满足条件。
下面证明满足条件： 即证明： ,显然成立。∴满足条件。
综上可得， 是数列。
3. 证明： :
由题意： ∵
即。由题意知，
i):当时。显然： ,
ii):当时，
方法之一：辅助数列法。
取任意一个数列，不妨用表示，则对任意正整数k有：
综上，原不等式得证。
方法之二：辅助不等式，当。当
★也可构建辅助不等式： ,方法类同上}
备注：事实上此问不等式还能进一步扩展为对任意。
现证明其中的第和第条(其余请读者自几解决)首先 ∵
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