2012江苏高考数学压轴题集选。
1. 设为数列的前项之积，满足．
1)设，证明数列是等差数列，并求和；
2)设求证：．
解：(1)∵，数列是以2为首项，以1为公差的等差数列，∴，
∴，当时。当时，，
2.函数．1）试求的单调区间；
2）当时，求证：函数的图像存在唯一零点的充要条件是；
3）求证：不等式对于恒成立．
解：（1）．
当时，，在上单调递增； 当时，时，，在上单调递减；时，，在上单调递增．
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
2）充分性：a=1时，由（1）知，在x=1处有极小值也是最小值，即。而（0，1）在上单调递减，在上单调递增，在上由唯一的一个零点x=1．
必要性： =0在上有唯一解，且a>0, 由（1）知，在x=a处有极小值也是最小值f(a)， f(a)=0,即．
令，．当时，，在（0，1）上单调递增；当a>1时，在上单调递减。， 0只有唯一解a=1．
3. 已知数列的前项和为，且满足，，其中常数．
1）证明：数列为等比数列；
2）若，求数列的通项公式；
3）对于（2）中数列，若数列满足（），在与之间插入（）个2，得到一个新的数列，试问：是否存在正整数m,使得数列的前m项的和？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。
解：（1）∵，4分，∴，数列为等比数列．
2）由（1）知8分。
又10分。3）由（2）得，即，数列中，（含项）前的所有项的和是：
12分。当k=10 时，其和是。
当k=11 时，其和是。
又因为2011-1077=934=4672，是2的倍数14分。
所以当时，所以存在m=988使得16分。
4.已知函数．
1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；
2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
3）求函数在区间上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．
解：（1）方程，即，变形得，显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，有且仅有一个等于1的解或无解 ，
结合图形得4分。
2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，当时，（*显然成立，此时；
当时，（*可变形为，令。
因为当时，，当时，所以，故此时。
综合①②，得所求实数的取值范围是8分。
3）因为=…10分。
1 当时，结合图形可知在上递减，在上递增，且，经比较，此时在上的最大值为。
2 当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，经比较，知此时在上的最大值为。
3 当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，经比较，知此时在上的最大值为。
4 当时，结合图形可知在，上递减，在，上递增，且，经比较，知此时在上的最大值为。
当时，结合图形可知在上递减，在上递增，故此时在上的最大值为。
综上所述，当时，在上的最大值为；
当时， 在上的最大值为；
当时， 在上的最大值为016
5.已知函数。设关于x的不等式的解集为且方程的两实根为。（1）若，求的关系式；
2）若都是负整数，且，求的解析式；（3）若，求证：.
解：（1）由，得，由已知得，，∴的关系式为5分。
2)∵是负整数，∴.
由得：，且。
10分。3)令，又。,即12分。
又是方程的两根，.
由线性约束条件，画图可知。 的取值范围为，……14分。
16分。6.已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．
ⅰ）求的值；
ⅱ）不等式在上恒成立，求实数的范围；
ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数的范围．
解：（ⅰ1)
当时，上为增函数
故 当上为减函数。
故 即。 .
ⅱ）方程化为。
令， ∴ 记。
ⅲ）方程化为。
令， 则方程化为（）
方程有三个不同的实数解，由的图像知，有两个根、， 且或。记。
则或。7.设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是m、m，集合．（1）若，且，求m和m的值；
（2）若，且，记，求的最小值．
1）由1分。
又。………3分4分。
5分。6分。
（2） x=1
∴， 即8分。
∴f（x）=ax2+（1-2a）x+a, x∈[-2,2其对称轴方程为x=
又a≥1，故19分。
∴m=f（-2）=9a-210分。
m11分。g（a）=m+m=9a--114分。
16分。8.已知函数，．
1）当时，若上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对：存在，使得的最大值， 的最小值；
（3）对满足（ii）中的条件的整数对，试构造一个定义在且上的函数：使，且当时，．
解：．1）当时1分。
若，，则在上单调递减，符合题意；……3分。
若，要使在上单调递减，必须满足5分。
∴．综上所述，a的取值范围是6分。
（2）若，，则无最大值7分。
故，∴为二次函数，要使有最大值，必须满足即且，…8分。
此时，时，有最大值分。
又取最小值时分。
依题意，有，则，……分。
∵且，∴，得，……分。
此时或．∴满足条件的整数对是12分。
（3）当整数对是时， ，是以2为周期的周期函数分。
又当时，,构造如下：当，则，故。
9.已知函数，当时，的值域为，当时，的值域为，依次类推，一般地，当时，的值域为，其中k、m为常数，且。
(1)若k=1，求数列的通项公式；
2)若且，问是否存在常数m，使数列是公比不为1的等比数列？请说明理由；(3)若，设数列的前n项和分别为，求。
解：(1)因为，当时，为单调增函数，所以其值域为，于是。
又a1=0, b1=1, 所以。
2)因为，当时，为单调增函数，所以的值域为，所以。
要使数列为等比数列，必须为与n无关的常数。
又，故当且仅当时，数列是公比不为1的等比数列。
本题考生若先确定m＝0，再证此时数列是公比不为1的等比数列，给全分)
3)因为，当时，为单调减函数，所以的值域为，于是。
所以。 1)因为，当时，为单调增函数，所以其值域为，于是。
又a1=0, b1=1, 所以，.
10.已知二次函数g（x）对任意实数x都满足，且令。
1）求 g(x)的表达式；
2）若使成立，求实数m的取值范围；
3）设，证明：对，恒有。
解】 （1）设，于是。
所以 又，则．所以4分。
当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为r；
当m=0时，对，恒成立6分。
当m<0时，由，列表：
8分。所以若，恒成立，则实数m的取值范围是。
故使成立，实数m的取值范围．……10分。
3）因为对，所以在内单调递减。
于是。………12分。
记，则。所以函数在是单调增函数14分。
所以，故命题成立16分。
11.已知二次函数和函数，（1）若为偶函数，试判断的奇偶性；（5分）（2）若方程有两个不等的实根，则①证明函数在（-1，1）上是单调函数；（6分）②若方程的有两实根为，求使成立的的取值范围。（5分）
解：（1）∵为偶函数，∴，函数为奇函数；
2）①由得方程有不等实根。
∴△及得即。
又的对称轴。
故在（-1，1）上是单调函数。
是方程(*)的根，∴，同理。
同理。要使，只需即，∴
或即，解集为。
故的取值范围。
12.已知函数的两条切线pm、pn，切点分别为m、n. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）设|mn|=，试求函数的表达式。
3）在（2）的条件下，若对任意的正整数，在区间内，总存在m＋1个数使得不等式成立，求m的最大值。
解：（i）当 1分。
则函数有单调递增区间为4分。
（ii）设m、n两点的横坐标分别为、，同理，由切线pn也过点（1，0），得（26分。
由（1）、（2），可得的两根，8分。
把（*）式代入，得。
因此，函数10分。
（iii）易知上为增函数，13分。
由于m为正整数15分。
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