第I卷几何基础

几何原本》第i卷。

几何基础。赠初中晚辈。

《几何原本》，古希腊欧几里得著，距今已有两千余年历史。其为古希腊几何学光辉成果和思想精神的集中体现，是建立空间秩序最久远、最权威的逻辑推演语系。自问世之日起至今，除《圣经》外，无任何著作，其研究、使用与传播能如此之广。

《几何原本》为数学之源，一部不朽之作。

家长给我买了一部，我从此便爱不释手。尤其是第i卷，等边对等角、等角对等边、对顶角相等、四大全等定理、平行线三大定理、三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、三角形外角之和等于不相邻两内角之和、闻名世界的勾股定理，乃至尺规作图中最基本的角平分线、已知角、垂直平分线、等边三角形等，都在此找到了源头，看到了最初精彩的证明。然而，我在读时却略觉吃力。

《几何原本》太久远了，其没有等现在所学数学符号，纯翻译用“因为”“又”“所以”等词，证明比较口语化，不够严谨，经常让人困惑；其字母表示比较混乱，有时用一个大写字母表示一个三角形，用两个大写字母表示一个四边形，这在现在是不可取的；更重要的是，其毕竟是逻辑推演的首创之作，难免有疏漏、错误和让人无法理解的地方。长期以来，人们都说，普通读者对《几何原本》只可意会，不可深究。

但是，我认为这部著作太好了，对于初中生，不求通读，读一读第i卷也是非常有益的。于是，我花了整整两周时间，将第i卷几何基础中48个命题译成了初中课本中的现代数学语言。

晚辈们，作为一个即将升入高中的学长，我赠送你们爱因斯坦的一句话：如果欧几里得未激发你少年时代之科学热情，那你肯定不会是一个天才的科学家。对照此译本，翻翻汉译原著，你会感受到几何之玄妙的！

汇文客·篪。

南京金陵中学。

命题i.1：已知一条线段，可作一个等边三角形。

已知：线段ab

求作：等边△abc

作法：以a为圆心，ab为半径，作⊙a；

同理得⊙b；（公设i.3，以后省略）

两圆相交于ab上方点c；

连接ac、bc，得△abc；

则△abc为等边三角形。

证明：⊙a中，a为圆心，b、c为⊙a上两点，ab=ac（定义i.15、i.16）；

同理可得bc=ba；

ab=ac=bc（公理i.1）；

△abc为等边三角形（定义i.20）。

证完。命题i.2：从给定一点可引一条线段，使其等于已知线段。

已知：点a、线段bc

求作：线段af，af=bc

作法：连接ab，作等边△abd（命题i.1）；

延长db、da（公设i.2，此后省略）；

以b为圆心，bc为半径，作⊙b，交db于点e；

同理可得⊙d，交da于点f；

则得线段af，af=bc。

证明：△abd为等边三角形，ab=bd=da；

⊙a中，b为圆心，e、c为⊙a上两点，be=bc（定义i.15、i.16）；

同理可得df=de；

df上da=de上db，余下部分为af、be，af=be（公理i.3）；

af =bc（公理i.1）。

证完。命题i.3：给定两条不等线段，可在较长的线段上。

截取一条线段，使其等于较**段。

已知：线段ab、a，ab>a

求作：ab上线段ae，ae=a

作法：在点a上作线段ac=a（命题i.2）；

以a为圆心，ac为半径，作⊙a，交ab于点d；

则得线段ad，ad=a；

证明：⊙a中，a为圆心，d、c为⊙a上两点，ad=ac（定义i.15、i.16）；

ad=a（公理i.1）。

证完。命题i.4：如果三角形两条对应边及夹角相等，那么第三边亦相等，两三角形全等，其余两对应角亦相等。（sas）

已知：△abc、△def中，ab=de，∠a=∠d，ac=df

求证：bc=ef，△abc≌△def，∠b=∠e，∠c=∠f

证明：平移△abc，使a与点d重合，ab与de重合；

ab=de，b与e重合；

∠a=∠d，ac=df，∠a与∠d重合，ac与df重合，c与f重合；

假设bc≠ef，而b与e重合，c与f重合，则在平面中，两条线段要形成一个面（如图），这在欧式几何中是不可能的（定义i.19）；

bc=ef，bc与ef重合；

△abc≌△def（公理i.4）；

∠b=∠e，∠c=∠f。

证完。命题i.5：等腰三角形的两底角相等，将腰延长，与底边形成的两个补角亦相等。(等边对等角)

已知：等腰△abc中，ab=ac ,作ab延长线ad、ac延长线ae

求证：∠abc=∠acb，∠dbc=∠ecb

证明：在ad上取一点f，在ae上截取ag=af（命题i.3）

连接cf、bg（公设i.1，此后省略）；

ab=ac , a=∠a，ag=af，cf=bg, △afc≌△abg，∠afc=∠agb，∠acf=∠abg（命题i.4）；

af=ag，ab=ac，余下bf=cg（公理i.3）；

bf=cg , bfc=∠cgb，fc=gb，△bfc≌△cgb，∠fbc=∠gcb，∠bcf=∠cbg（命题i.4）；,acf=∠abg，∠bcf=∠cbg；

余下∠abc=∠acb（公理i.3）。

证完。命题i.6：如果在一个三角形中，有两个角相等，那么也有两条边相等。（等角对等边）

已知：△abc中，∠abc=∠acb

求证：ab=ac

证明：假设ab≠ac，ab>ac；

在ab上截取线段bd，使bd=ac（命题i.3），连接dc；

bd=ac，∠dbc=∠acb，bc=cb；

△dbc≌△acb（命题i.4）；

以后使用命题i.4，一些不必要结论会予以省略）

由图可知，小三角形全等于大三角形，这不可能（公理i.5）；

ab≠ac不成立；

ab=ac。

证完。命题i.7：过线段两端点引出两条线段交于一点，那么，在同一侧，不可能有相交于另一点的两条线段，分别等于前两条线段。（即每个交点到相同端点的线段相等）

已知：线段ab同侧有点c、d，连接ac、bc、ad、bd

求证：ac≠ad，bc≠bd

证明：连接cd；

假设ac=ad，bc=bd，∠adc=∠acd（命题i.5）；

同理可得∠bdc=∠bcd；

由图可知，∠adc<∠bdc，∠acd>∠bcd（公理i.5），则∠adc<∠bdc而又∠adc>∠bdc（补充公理i.1），这是矛盾的；

ac=ad，bc=bd不成立；

ac≠ad，bc≠bd。

证完。命题i.8：如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形所有对应角相等。（sss）

已知：△abc、△def中，ab=de，bc=ef，ac=df

求证：∠a=∠d，∠b=∠e，∠c=∠f

证明：平移△abc，置b于点e上；

bc=ef，bc与ef能够重合；

假设ab与de、ac与df不能够重合，形成新线段ge、gf，g与点d不重合，ge=ab，gf=ac；

根据命题7，这不可能；

ab与de、ac与df能够重合；

△abc≌△def（公理i.4）；

∠a与∠d能够重合，∠a=∠d；

同理可得∠b=∠e，∠c=∠f。

证完。命题i.9：一个角可以被分成两个相等的角。（角平分线作法）

已知：∠bac

求作：射线af，使∠baf=∠caf

作法：在ab上取一点d；

在ac上截取ae=ad（命题i.3），连接de；

在de上作等边△def（命题i.1），以点a为端点，过点f作射线；

则射线af平分∠bac。

证明：△def为等边三角形，de=ef=fd；

ad=ae，df=ef，af=af，∠baf=∠caf（命题i.8）。

证完。命题i.10：一条线段可以被分为两条相等的线段。

垂直平分线作法）

已知：线段ab

求作：点d，使ad=bd

作法：在ab上作等边△abc（命题i.1）；

作射线l平分∠bac（命题i.9），交ab于点d；

则d为ab中点。

证明：射线l平分∠bac，∠acd=∠bcd；

△abc为等边三角形，

ab=ac=bc；

ac=bc , acd=∠bcd，cd=cd，ad=bd（命题i.4）。

证完。命题i.11：过一条直线上的一个点，可以做该直线的垂线。

已知：直线ab，c为ab上一点。

求作：线段fc，使fc⊥ab

作法：在射线ca上取点d，在射线cb上截取ce=cd（命题i.3）；

在de上作等边△def（命题i.1），连接cf；

则fc⊥ab。

证明：△def为等边三角形，de=ef=fd；

cd=ce，df=ef，cf=cf，∠dcf=∠ecf（命题i.8）；

∠dcf与∠ecf互为邻角，∠dcf与∠ecf皆为直角（定义i.10）；

fc⊥ab（定义i.10）。

证完。命题i.12：过直线外一点可以作直线的垂线。

已知：直线ab，直线外有一点c

求作：线段cf，使cf⊥ab

作法：在ab上取一点d；

以c为圆心，cd为半径作圆，⊙c交ab于另一点e；

作de中点f（命题i.10），连接cf；

则cf⊥ab。

证明：连接cd、ce；

⊙c中，c为圆心，d、e为⊙c上两点，cd=ce（定义i.15、i.16）；

f为de中点，df=ef；

cd=ce，df=ef，cf=cf，∠dfc=∠efc（命题i.8）；

∠dfc与∠efc互为邻角，∠dfc与∠efc皆为直角（定义i.10）；

cf⊥ab（定义i.10）。

证完。命题i.13：两条直线相交，邻角是两个直角，或相加等于180°。（互补）

已知：射线ba端点b在直线cd上，形成∠cba、∠abd，1、∠cba=∠abd

求证：∠cba、∠abd为直角。

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