2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛。
摘要。**主要描述了品酒员在品尝葡萄酒后，对其分类指标进行打分，从而对葡萄酒做出评价的问题。
针对问题一，首先运用配对t检验的方法，求出t值，确定两组品酒员评价结果存在显著性差异；然后，分别计算并比较两组品酒员对每个样品各项指标评分的方差，进而确定第二组评酒员评分结果更为可信。
针对问题二，运用软件进行主成分分析，将酿酒葡萄的理化指标简化；然后通过聚类分析，将27种不同品种的酿酒葡萄分为三类；再根据每类酿酒葡萄中各品种葡萄的平均分，确定酿酒葡萄的级别。
针对问题三，首先查找酿酒葡萄与葡萄酒相同的理化指标，运用进行数据拟合，得出在同一理化指标下，各品种酿酒葡萄与葡萄酒之间的函数关系。
针对问题四，以酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标为自变量，以葡萄酒的得分为因变量，建立多元线性回归模型，运用软件求解，经分析论证得出可用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量。
关键词：t检验；软件；聚类分析；拟合；多元线性回归模型。
一。 问题重述。
确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。
附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题：
1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？
2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。
3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。
4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？
二。模型假设
1.假设表示，即两种方法测定的结果相同；
表示，即两种方法测定的结果不同。
2.假设置信水平为。
3.假设在简化问题的过程中，酿酒工艺等环节对葡萄酒的质量没有影响。
三．符号说明。
四．模型的建立。
4.1模型一。
4.1.1模型一的分析。
由于配对样本是指对同一样本进行两次测试所获得的两组数据，或对两个完全相同的样本在不同条件下进行测试所得的两组数据。在本题中，酒的样本不变，而是通过两组不同的品酒员对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，是对同一样本进行的两次测试，因此是配对样本。对于配对样本数据，应该首先计算出各对差值的均数。
当两种处理结果无差别或某种处理不起作用时，理论上差值的总体均数应该为0，故可将配对样本资料的假设检验视为样本均数与总体均数=0的比较，所用方法为配对t检验。
由于题目所给的数据量十分庞大，因此首先对这些数据进行分析，本文给出的方法是：
针对红葡萄酒：对每一个酒样品每一项指标，取10位品酒员评分的平均数，将每一个酒样品的100个数值压缩为10个数值。将第一组和第二组酒样品的各项指标评分的平均数求出，分别对两组的每一项指标进行配对t检验，然后再对结果进行分析，判断两组的评价结果有无显著性差异，进而分析哪组的结果更加可靠。
针对白葡萄酒：为了简化运算过程，可将10项指标放在一起考虑，得出的结果与求红葡萄酒时的结果差别不大，因此，对两组每一个酒样品的整体平均数进行t检验。
4.1.2模型一的建立。
t值： 标准差：
4.1.3模型一的求解。
4.1.3.1针对红葡萄酒。
由题目所给的附件1中的数据，对澄清度这项指标的评分求平均值，得出数据见下表1：
表11、关于澄清度。
1)建立假设：
假设两组评酒员的评价结果无显著性差异。
假设两组评酒员的评价结果存在显著性差异。
2)计算检验统计量。
3)查界值表，确定值，得出以下结论：，按的水准，接受， 拒绝，即第一组与第二组的品酒员对红葡萄酒的澄清度的评价结果无显著性差异。
2、同理可得出其他9项指标的结果：
1)对于色调：，，按的水准， 拒绝，接受，即第一组与第二组的品酒员对红葡萄酒的色调的评价结果有显著性差异。
2) 对于香气纯正度：，，按的水准， 拒绝，接受，即第一组与第二组的品酒员对红葡萄酒的香气纯正度的评价结果有显著性差异。
3) 对于香气浓度：，，按的水准， 接受，拒绝，即第一组与第二组的品酒员对红葡萄酒的香气浓度的评价结果无显著性差异。
4) 对于香气质量：，，按的水准， 拒绝，接受，即第一组与第二组的品酒员对红葡萄酒的香气质量的评价结果有显著性差异。
5) 对于口感纯正度：，，按的水准， 接受，拒绝，即第一组与第二组的品酒员对红葡萄酒的口感纯正度的评价结果无显著性差异。
6) 对于口感浓度：，，按的水准， 接受，拒绝，即第一组与第二组的品酒员对红葡萄酒的口感浓度的评价结果无显著性差异。
7) 对于持久性：，，按的水准， 接受，拒绝，即第一组与第二组的品酒员对红葡萄酒的持久性的评价结果无显著性差异。
8) 对于口感质量：，，按的水准， 接受，拒绝，即第一组与第二组的品酒员对红葡萄酒的口感质量的评价结果无显著性差异。
9) 对于平衡/整体评价：，，按的水准，接受，拒绝，即第一组与第二组的品酒员对红葡萄酒的平衡/整体评价的评价结果无显著性差异。
综上所述，可以看出在第一组与第二组的品酒员对红葡萄酒的各项指标进行t检验后，10项指标中澄清度、香气浓度、口感纯正度、口感浓度、持久性、口感质量、平衡/整体评价的评价结果均无显著性差异，而色调、香气纯正度、香气质量的评价结果均有显著性差异。
4.1.3.2针对白葡萄酒。
由题目所给的附件1中的数据，对两组中每一个葡萄酒样品各项指标数值整体求平均值，得出的数据见附录一。
1、 建立假设：
两组评分结果无显著性差异。
两组评分结果存在显著性差异。
2、计算检验统计量：
3.查界值表，确定值，得出以下结论：，按的水准， 拒绝，接受，即第一组与第二组的品酒员对白葡萄酒的每一个酒样品的评价结果有显著性差异。
4.1.4对两组红葡萄酒评酒员评价结果的可信度分析。
因为方差表示的是数据的波动情况，因此，数据的波动越趋向平缓且数据较小，其稳定性越高，可信度也越高。同理可知，方差的波动越剧烈且数据较大，其稳定性也越差，可信度就低。因此，在进行t检验的同时，计算出每一组品酒员对每一个酒样品每一项指标评分的方差，把两组品酒员对同一种指标的方差进行求和，得出下表2中数据：
表2将两组品酒员对同一种指标的方差和进行比较，得出如图1的折线图：
图1在图1中，系列1表示的是第一组品酒员对27种葡萄酒样品同一指标评分的方差之和，系列2表示的是第二组品酒员对27种葡萄酒样品同一指标评分的方差之和。根据图1可知，系列2的方差波动同系列1的方差波动相比较，系列2更趋向于平缓。同时第一组品酒员对27种酒样品同一指标评分的方差平均数为41.
65，数值较大，而第二组品酒员对27种酒样品同一指标评分的方差平均数为29.79，数值较小。因此，对红葡萄酒的评价第二组品酒人员的评价结果更可信。
4.1.5对两组白葡萄酒评酒员评价结果的可信度分析。
因为方差表示的是数据的波动情况，因此，数据的波动越趋向平缓且数据较小，其稳定性越高，可信度也越高。同理可知，方差的波动越剧烈且数据较大，其稳定性也越差，可信度就低。因此，在进行t检验的同时，计算出每一组品酒员对每一个酒样品的评分方差，把两组品酒员对同一种指标的方差进行求和，得出下表3中数据：
表3将两组品酒员对同一种指标的方差和进行比较，得出如图2的折线图：
图2图2中，系列1表示的是第一组品酒员对每一种酒样品的评分方差，系列2表示的是第二组品酒员对每一种酒样品的评分方差。根据图2可知，系列1的方差波动同系列2的方差波动相比较，系列2更趋向于平缓。同时第一组品酒员对27种酒样品同一指标评分的方差平均数为69.
02，数值较大，而第二组品酒员对27种酒样品同一指标评分的方差平均数为38.95，数值较小。
因此，对白葡萄酒的评价同样是第二组品酒人员的评价结果更可信。
4.2划分葡萄的级别。
运用软件进行因子分析，通过主成分分析，将题目附件所给的30个葡萄的指标转化为8个综合指标，如表4所示：
表4 成份得分系数矩阵。
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