大连市第二十届高等数学竞赛试题。
b卷答案。一、填空题（本题共30分，每小题3分）3．设，则为的第一型间断点．
4．设函数在处可导，，则．
5．设， ．
6．函数， =
8．设函数，则=．
9．设函数在上可积，且满足关系式，的。
表达式为．
10．设函数由方程确定，则．
二、（本题8分）计算极限．
解做变量替换，再利用无穷小等价代换，三、（本题8分）已知，求常数和．解原式，所以，，即．
四（本题10分）设函数有二阶连续导数，求．解。所以，得．
五、（本题10分）求函数的极值点．
解是偶函数，所以先考虑情形．
令，得，．当时，； 当时，．
所以是极小值点，而是极大值点．
六、（本题10分）求由曲线，及围成的平面图形的面积．解，所求面积。
七、（本题8分）设函数满足关系，且，证明：
点是曲线的拐点．
证由关系式，令，得；
等式两端求导，得，因此．
再由的连续性可知，在附近，，所以单增，在。
的两侧异号，是曲线的拐点．
八、（本题8分）设函数在上可导，且，单调增加．证明：在上单调增加．
证 在和之间。
所以在上单调增加．
九、（本题8分）设，为正整数，证明：（1）；（2）．证令，得。
2），由夹逼准则，．
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