第二讲数列的概念与表示、等差数列。
一、数列的概念与表示。
1．数列：1，－，的一个通项公式是( )
an＝(－1)n－1 (n∈n＋)
2．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，…的第1 000项等于。
a．42 b．45 c．48 d．51
解析将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，……第n段n个数，设a1 000＝k，则a1 000在第k段，由于第k段共有k个数，则由题意k应满足1＋2＋…＋k－1)<1 000≤1＋2＋…＋k，解得k＝45.
答案 b3．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差即a2 014－5＝(
a．2 020×2 012 b．2 020×2 013c．1 010×2 012 d．1 010×2 013
解析结合图形可知，该数列的第n项an＝2＋3＋4＋…＋n＋2)．所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.故选d.
答案 d4．设数列满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列的前n项之积为πn，则π2 014的值为( )
a．－ b．－1 c. d．2
解析：由a2＝，a3＝－1，a4＝2可知，数列是周期为3的周期数列，从而π2 014＝π1＝2.答案：d
5．数列的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前___项的和最大．
解析易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求数列的最末一个非负项．令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．
答案 10或11
x=1，y=2，7．已知数列满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈n*)，则a2an
解析由an＝n(an＋1－an)，可得＝，则an＝··a1＝××1＝n，∴a2＝2，an＝n.
答案 2 n
8．已知数列满足前n项和sn＝n2＋1，数列满足bn＝，且前n项和为tn，设cn＝t2n＋1－tn.
1)求数列的通项公式；
2)判断数列的增减性．
解析 (1)a1＝2，an＝sn－sn－1＝2n－1(n≥2)．
bn＝2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
＋＋…cn＋1－cn＝＋－
＜0，是递减数列．
二等差数列。
1.若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的序号是。
答案。2．在数列中，若a－a＝p(n≥1，n∈n*，p为常数)，则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：
若是等方差数列，则是等差数列；
是等方差数列；
若是等方差数列，则(n∈n*，k为常数)也是等方差数列．
其中真命题的序号为___将所有真命题的序号填在横线上)．
解析 ①正确，因为a－a＝p，所以a－a＝－p，于是数列为等差数列．②正确，因为(－1)2n－(－1)2(n＋1)＝0为常数，于是数列为等方差数列．③正确，因为a－a＝(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…a－a)＝kp，则(k∈n*，k为常数)也是等方差数列．
答案 ①②3已知数列，an∈n*，sn =，求证：是等差数列；
答案】an+1 = sn+1–sn,8an+1 =，an∈n*，∴即，数列是等差数列。
4.各项均为正数的两个数列和满足：,设，求证：数列是等差数列；
答案】解：(1)∵,
数列是以1 为公差的等差数列。
5．在等差数列中，公差d＞0，前n项和为sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.
1)求数列的通项公式；
2)令bn＝(n∈n*)，是否存在一个非零常数c，使数列也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题设，知是等差数列，且公差d＞0，则由得。
解得∴an＝4n－3(n∈n*)．
2)由bn＝＝＝c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.
bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈n*)，数列是公差为2的等差数列．
即存在一个非零常数c＝－，使数列也为等差数列．
6．如果等差数列中，，那么（ ）
a、14b、21c、28d、35
答案】c 解析】
命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质。
7.在等差数列中，若，则的值为 (
a、14b、15c、16d、17
答案】c8.(2012·江西)设数列，都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5
解析设数列，的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
答案 359、等差数列前项的和等于前项的和．若，则。
答案】。10、等差数列前项和，已知，,则m=__
答案】 解析】由，得到。
11、已知数列对任意的满足，且，那么等于
答案】 12、(1)已知数列为等差数列，若，且它们的前项和为有最大值，则使的的最大值为( )
a、 b、 c、 d、
答案：b解析：∵ 1，且sn有最大值，∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，s19＝＝19·a10>0， s20＝＝10(a10＋a11)<0.
所以使得sn>0的n的最大值为19，故选b.
13、已知等差数列的前n项和为sn，并且s10>0，s11<0，若sn≤sk对n∈n*恒成立，则正整数k的取值为。
a．5 b．6 c．4 d．7
解析由s10>0，s11<0，知a1>0，d<0，并且a1＋a11<0，即a6<0，又a5＋a6>0，所以a5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以s5最大，则k＝5，选a.
答案 a14．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是___项数是___
解析设等差数列的项数为2n＋1，s奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，s偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，＝＝解得n＝3，∴项数2n＋1＝7，s奇－s偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．
答案 11 7
15．已知等差数列的前n项和为sn，s4＝40，sn＝210，sn－4＝130，则n＝ (
a．12b．14c．16d．18
解析 sn－sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，s4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由sn＝＝210，得n＝14.
答案 b16．已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)， 3,2)，(4,1)，…则第60个数对是( )
a．(5,5b．(5,6c．(5,7) d．(5,8)
解析按规律分组。
第一组(1,1)
第二组(1,2)，(2,1)
第三组(1,3)，(2,2)，(3,1)
则前10组共有＝55个有序实数对．
第60项应在第11组中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…11,1)因此第60项为(5,7)．
答案 c17、将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：
记表中的第一列数，，，构成的数列为，，为数列的前n项和，且满足。求证数列成等差数列，并求数列的通项公式；
解：（1）由已知，当时，，又，
所以。 即，所以。
又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列。
所以，即。
所以，当时， ，因此
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