2009年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学（理工农医类）答案。
一。【解析】由得由得，所以选d项。
【解析】由，可得，即得，但，不一定有，所以“”是“的充分不必要条件。
【解析】解析由函数向左平移的单位得到的图象，由条件知函数可化为函数，易知比较各答案，只有，所以选d项。
【解析】解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在是连续的，可知参数，即排除c，d项，又取，知对应函数值，由图可知所以，即选b项。
【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：，另一类是甲乙都去的选法有=7，所以共有42+7=49，即选c项。
【解析】解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是，所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是，故选b项。
【解析】解析如图示，则bc中点，点，点，点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个，故选c项。
【解析】由知，所以时，，当时，，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得d符合，此时。故选d项。
二。9. 12 【解析】设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即所求人数为12人。
10. 7 【解析】由条件易知展开式中项的系数分别是，即所求系数是。
11. 【解析】由，知所以当且仅当时取等号，即最小值是。
12. 【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是是虚半轴长，是焦半距，且一个内角是，即得，所以，所以，离心率。
13. 40 【解析】由条件易知层中抽取的样本数是2，设层总体数是，则又由层中甲、乙都被抽到的概率是=，可得，所以总体中的个数是。
14. （1）12；（2）3 【解析】（1）由的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过三点小圆的直径即为10，也即半径是5，设球心到小圆的距离是，则由，可得。（2）设过三点的截面圆的圆心是中点是点，球心是点，则连三角形，易知就是所求的二面角的一个平面角，，所以，即正切值是3。
15. 【解析】当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知。
即。进一步可求得。由上知中有三个数，中有6个数，中共有10个数相加 ，中有15个数相加….，若中有个数相加，可得中有个数相加，且由。
可得所以。三。
16. 解：设。
由得，所以。
又因此。由得，于是。
所以，，因此。
既。由a=知，所以，，从而。
或，既或故。
或。17. 解：
记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件， ,i=1，2，3.由题意知相互独立， 相互独立， 相互独立，, i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且p（）=p（）=p（）=
1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率。
p=3！p（）=6p（）p（）p（）=6=
2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知， -b（3，），且=3。
所以p（=0）=p（=3）==p（=1）=p（=2）=
p（=2）=p（=1）==p（=3）=p（=0）=
故的分布是。
的数学期望e=0+1+2+3=2
解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件，i=1,2,3 ，由此已知，·d，相互独立，且。
p（）-p（）+p（）=
所以--,既，
故的分布列是。
解 （i） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面。
又de平面abc，所以deaa.
而deae。aaae=a 所以de平面ac ca，又de平面ade，故平面ade平面ac ca。
2）解法1 如图所示，设f使ab的中点，连接df、dc、cf，由正三棱柱abc- abc的性质及d是ab的中点知abcd， abdf
又cddf=d，所以ab平面cdf，而ab∥ab，所以。
ab平面cdf，又ab平面abc，故。
平面ab c平面cdf。
过点d做dh垂直cf于点h，则dh平面ab c。
连接ah，则had是ad和平面abc所成的角。
由已知ab=a a，不妨设a a=，则ab=2，df=，d c=，cf=，ad==，dh==—所以 sinhad==。
即直线ad和平面ab c所成角的正弦值为。
解法2 如图所示，设o使ac的中点，以o为原点建立空间直角坐标系，不妨设。
a a=，则ab=2，相关各点的坐标分别是。
a(0,-1,0)， b（，0，0）， c（0，1，），d（，-
易知=(，1，0)， 0，设平面abc的法向量为n=（x，y，z）,则有。
解得x=-y， z=-，故可取n=(1，-，
所以， (n·)=
由此即知，直线ad和平面ab c所成角的正弦值为。
19. 解 （ⅰ设需要新建个桥墩，
所以 （ⅱ）由（ⅰ）知，
令，得，所以=64
当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；
当时， >0.在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，
故需新建9个桥墩才能使最小。
解（ⅰ）设点p的坐标为（x，y），则3|x-2|
由题设 当x>2时，由①得。
化简得 当时由①得。
化简得。故点p的轨迹c是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1
ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是a（2，），b（2，），直线af，bf的斜率分别为=，
当点p在上时，由②知。
当点p在上时，由③知。
若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为。
i）当k≤，或k≥，即k≤-2时，直线i与轨迹c的两个交点m（，）n（，）都在c上，此时由④知。
mf∣= 6 - nf∣= 6 -
从而∣mn∣= mf∣+ nf∣= 6 - 6 - 12 -
由得则，是这个方程的两根，所以+=*mn∣=12 -（12 -
因为当。当且仅当时，等号成立。
2）当时，直线l与轨迹c的两个交点分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，
设直线af与椭圆的另一交点为e
所以。而点a，e都在上，且。
有（1）知。
若直线的斜率不存在，则==3，此时。
综上所述，线段mn长度的最大值为。
21. 解（1）设满足题设的等比数列为，则，于是。
因此。因为所以即。
故首项为1，公比为的等比数列是b-数列。
2）命题1：若数列是b-数列，则数列是b-数列。
次命题为假命题。
事实上，设，易知数列是b-数列，但。
由的任意性知，数列是b-数列此命题为。
命题2：若数列是b-数列，则数列是b-数列。
此命题为真命题。
事实上，因为数列是b-数列，所以存在正数m，对任意的有。
即。于是。所以数列是b-数列。
iii）若数列{}是数列，则存在正数，对任意的有。
注意到。同理：
记，则有。因此
故数列是数列。
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