22．（13分）（2013湖南）已知a＞0，函数．
i）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
ii）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分13分）
已知函数，其中。
ⅰ）若对一切，恒成立，求的取值集合。
ⅱ）在函数的图像上取定两点，记直线的斜率为。问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
解析】（ⅰ若，则对一切， ，这与题设矛盾，又，故。
而令。当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值。
于是对一切恒成立，当且仅当。
令则。当时，单调递增；当时，单调递减。
故当时，取最大值。因此，当且仅当即时，①式成立。
综上所述，的取值集合为。
ⅱ）由题意知，
令则。令，则。
当时，单调递减；当时，单调递增。
故当，即。从而，又。
所以。因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在，使，单调递增，故这样的是唯一的，且。故当且仅当时，.
综上所述，存在使成立。且的取值范围为。
点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法。第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈r，f(x) 1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断。
21.（本小题满分13分）
已知函数 i) 求函数的单调区间；
ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.
求a的最大值。
解： （函数的定义域是，设则。
令则。当时， 在（-1，0）上为增函数，当x＞0时， 在上为减函数。
所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数。
于是当时，
当x＞0时，
所以，当时， 在（-1，0）上为增函数。
当x＞0时， 在上为减函数。
故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为。
ⅱ）不等式等价于不等式由知，设则。
由（ⅰ）知，即。
所以于是g(x)在上为减函数。
故函数g（x）在上的最小值为。
所以a的最大值为。
2024年湖南省高考数学试卷 理科
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