天津。9．设椭圆(>b>0)的左右顶点分别为a,b,点p在椭圆上且异于a,b两点，o为坐标原点。
1)若直线ap与bp的斜率之积为-,求椭圆的离心率；
2)若|ap|=|oa|,证明直线op的斜率k满足|k|>.
解：(1)设点p的坐标为(x0,y0). 由题意，有。 ①
由a(-a,0),b(a,0),得kap=,kbp=.
由kap·kbp=-,可得x=a2-2y,代入①并整理得(a2-2b2)y=0.由于y0≠0,故a2=2b2.于是e2==,所以椭圆的离心率e=.
2)证明：(方法一)
依题意，直线op的方程为y=kx, 设点p的坐标为(x0,y0).
由条件得消去y0并整理得 x=.②
由|ap|=|oa|,a(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x=a2.整理得(1+k2)x+2ax0=0.而x0≠0,于是x0=,代入②,整理得(1+k2)2=4k22+4.
由a>b>0,故(1+k2)2>4k2+4,即k2+1>4,因此k2>3,所以|k|>.
方法二)依题意，直线op的方程为y=kx,可设点p的坐标为(x0,kx0).由点p在椭圆上，有+=1.因为a>b>0,kx0≠0,所以+<1, 即(1+k2)x由|ap|=|oa|,a(-a,0),得(x0+a)2+k2x=a2,整理得(1+k2)x+2ax0=0,于是x0=,代入③,得(1+k2) 3,所以|k|>.
重庆。0．(本小题满分12分(ⅰ)小问5分(ⅱ)小问7分)
如图，设椭圆的中心为原点o,长轴在x轴上，上顶点为a,左右焦点分别为，线段的中点分别为，且△是面积为4的直角三角形。
ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；
ⅱ)过做直线交椭圆于p,q两点，使，求直线的方程。
解：(ⅰ设所求椭圆的标准方程为
是直角三角形且为直角，从而
在中， 由题设条件得所以椭圆的标准方程为
ⅱ)由(ⅰ)知据题意，直线pq的倾斜角不为0,故可设直线pq的方程为x=my-2,带入椭圆方程，
设则是上面方程的两根，因此 又，所以
由，知，即，解得。
所以满足条件的直线方程为安徽。
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