2024年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学（答案）
一、选择题。
1．b 2．d 3．a 4．a 5．c 6．d
7．b 8．b 9．c 10．a 11．b 12．c
二、填空题。
2024年高考数学山东卷（理科）详细解析。
解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合中必含有，则或。选b.
解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设，由。得选d.
解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。是偶函数，可排除b、d，由排除c,选a.
解：、在数轴上表示点到点、的距离，他们的和关于对称，因此点、关于对称，所以。
直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以）
解：：，6．
解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为。
解：古典概型问题，基本事件总数为。
选出火炬手编号为，时，由可得4种选法；
时，由可得4种选法；时，由可得4种选法。
解：解：令得。
解：对于椭圆，曲线为双曲线， ，标准方程为：
解： 化成标准方程，过点的最长弦为。最短弦为
解：区域是三条直线相交构成的三角形（如图）
显然，只需研究过、两种情形，且即。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．解：，因此输出。
解：解： 16．若不等式的解集中的整数有且仅有，则的取值范围为。
解： ，即范围为。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．（本小题满分12分）
解：（ⅰ因为为偶函数，所以对，恒成立，因此．
即，整理得．
因为，且，所以．
又因为，故．
所以．由题意得，所以．故．
因此．ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．
所以．当（），即（）时，单调递减，因此的单调递减区间为（）．
18．（本小题满分12分）
解：（ⅰ解法一：由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且，．
所以的分布列为。
的数学期望为．
解法二：根据题设可知，因此的分布列为，．
因为，所以．
ⅱ）解法一：用表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以，且互斥，又。
由互斥事件的概率公式得．
解法二：用表示“甲队得分”这一事件，用表示“乙队得分”这一事件，．
由于事件，为互斥事件，故有．
由题设可知，事件与独立，事件与独立，因此。
19．（本小题满分12分）
解：（ⅰ证明：由已知，当时，，又，所以，又．所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
由上可知，．
所以当时，．
因此。ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．
因为，所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，故在表中第31行第三列，因此．又，所以．
记表中第行所有项的和为，则．
20．（本小题满分12分）
解：（ⅰ证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．
因为为的中点，所以．
又，因此．因为平面，平面，所以．
而平面，平面且，所以平面．又平面，所以．
ⅱ）解：设，为上任意一点，连接．
由（ⅰ）知平面，则为与平面所成的角．
在中，所以当最短时，最大，即当时，最大．
此时，因此．又，所以，所以．
解法一：因为平面，平面，所以平面平面．
过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，在中，又是的中点，在中，又，在中，即所求二面角的余弦值为．
解法二：由（ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以。
所以．设平面的一法向量为，则因此。
取，则，因为，所以平面，故为平面的一法向量．
又，所以．因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．
21．（本小题满分12分）
解：21．（ⅰ解：由已知得函数的定义域为，当时，，所以．
1）当时，由得，此时．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
2）当时，恒成立，所以无极值．
综上所述，时，当时，在处取得极小值，极小值为．
当时，无极值．
ⅱ）证法一：因为，所以．
当为偶数时，令，则（）．
所以当时，单调递增，又，因此恒成立，所以成立．
当为奇数时，要证，由于，所以只需证，令，则（），所以当时，单调递增，又，所以当时，恒有，即命题成立．
综上所述，结论成立．
证法二：当时，．
当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明．
令，则，当时，，故在上单调递增，因此当时，，即成立．
故当时，有．
即．22．（本小题满分14分）
解：（ⅰ证明：由题意设．
由得，得，所以，．
因此直线的方程为，直线的方程为．所以，①
由①、②得，因此，即．
所以三点的横坐标成等差数列．
ⅱ）解：由（ⅰ）知，当时，将其代入①、②并整理得：
所以是方程的两根，因此，又，所以．
由弦长公式得．
又，所以或，因此所求抛物线方程为或．
ⅲ）解：设，由题意得，则的中点坐标为，设直线的方程为，由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得．
若在抛物线上，则，因此或．
即或．1）当时，则，此时，点适合题意．
2）当，对于，此时，又，所以，即，矛盾．
对于，因为，此时直线平行于轴，又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的点．
综上所述，仅存在一点适合题意．
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