2009“数学解题能力展示”读者评选活动。
一、1. 计算。
答案：12解答：由，得：
2. 有10个同心圆，任意两个相邻的同心圆半径之差等于里面最小圆的半径。如果射击时命中，那么最里面的小圆得10环，命中最外面的圆得1环。
得1环圆环的面积是10环圆面积的___倍。
答案：19解答： 10个同心圆的半径比是1：2：3：4：5：6：7：8：9：10，得1环圆环的面积是10环圆面积的倍。
3. 有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本。你们这批图书共有___本。
答案：670
解答：如果多两本书，那么不论是还是32本每捆打包，总能刚好打成捆，这样图书总数同时是的整数倍。由于[24，28，32]=672，且图书总数在1000以内，故增加两本后图书总数就是672，原图书总数是670.
4. 如果甲商品**的25%比乙商品**的25%多25%；那么，乙的**比甲的**少___
答案：20解答：甲商品的**的25%比乙商品**的25%多25%，也就是甲商品**比乙商品**多25%，把乙的**当成1份，则甲的**是1.25份，从而乙的**比甲的**少。
5. 若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，右图中所示的只是3个五边形。那么要完成这一圈共需个正五边形。
答案：10解答：正五边形的每个内角的度数为（5-2）×180°÷5=108°，因此内部多边形的每个内角都是360°-108°×2=144°，由于多边形外角和为360°，因此此多边形边数为360°÷（180°-144°）=10，即需要10个正五边形。
（另解：可由多边形内角和公式，144°×n=180°×（n-2），解得n=10）
二、6. 计算。
答案：6解答：解法一：由，类似可得。
所以原式=6
解法二：所以原式=6
7. 将5枚棋子放入右侧编号的4×4**的格子中，每个格子最多放一枚，如果要求每行每列都有棋子，那么共有___种不同放法。
答案：432
解答：解法一：
5枚棋子放四行，每行都有，一定是有一行2枚，另三行每行各1枚；同理，有一列2枚，另三列每列各1枚；
1） 如图1，1行2枚和1列2枚有1枚有重复的。
按①，②的顺序选格，有：
16×3×3×2=288（种）
2） 如图2，1行2枚和1列2枚有1枚无重复的。
按⑤，“标志格”的顺序选格，有：16×9=144（种）
综上所述，共288+144=432（种）。
图1图2解法二：
显然必有一行放了两枚棋子，选出该行有4种选法，然后确定那行的两棋子位置有种放法（不妨设它们是图1中的①，②还余下三枚：
1） 如果三枚中有1枚③与①，②之一同列，它有6种放法，余下两枚有2种放法；
2） 如果三枚都不在①，②所在的两列，则它有6种放法；
所以一共有6×4×（6×2+6）=432种不同的放法。
8. 在算式，代表的是三个互不相同的四则运算符号（即加、减、乘、除），a,b,c,d是4个互不相同的非零阿拉伯数字。如果无论具体代表的是哪三个互不相同的四则运算符号，的计算结果都是整数。
那么，四位数是。
答案：9321
解答：容易看出a一定是b的倍数，二c一定是d得倍数。
如果d至少是2,那么c至少是4，考虑算式（a-b）÷(c×d)，可知只能是d=2，c=4,a=9,b=1,但此时（9×1）÷（4-2）不是整数，不满足要求。
因此d只能是1，考虑算式（a-b）÷（c×1）和（a-b）÷（c+1）可知a-b是c和c+1的倍数，由于（c，c+1）=1，所以a-b是c×（c+1）的倍数，从而c=2，a-b=6，再由a是b的倍数可知a=9，b=3，于是=9321
9. 如果一个五位数，它的各位数字成积恰好是他的各位数字和的25倍。那么，这个五位数的最大值是。
答案：75531
解答：解法一：该五位数数字和不可能为0，所以数字中无0；数字乘积要是数字和的25倍，所以至少两个5.设另三个数字为a≥b≥c，则有：
1） 若a=9，则至少21，至多37，从而b×c=3或4，均无解；
2） 若a=8，则至少20，至多37，从而b×c=3或4，均无解；
3） 若a=7，则至少19，至多37，从而b×c=3或4或5：
b×c=3，得b=3，c=1，恰好满足，此时的最大值75531；
b×c=4，b+c为28-10-7=11，无解；
b×c=5，b+c为35-10-7=18，无解。
综上所述，这个五位数的最大值是75531.
解法二：（这里我们将求出五位数的所有可能值！）
同解法一，类似可得。
1） 当c≥2时：
若b=2，则c=2，代入（*）式中，可求得a=，不是整数；
若b≥3，则等式左边≥3×2×a=6a，又等式右边≤3a+10，因此可得。
6a≤3a+10，又a≥b≥3，所以a=3，于是b=3，代回（*）式中求得c=2；
2） 当c=1时，代入（*）式，得ab=a+b+11，即（a-1）（b-1）=12，解得。
所以（a，b，c）的所有可能值是（3，3，2）、（7，3，1）、（5，4，1），原五位数最大是75531.
10. 将1个1，2个2，3个3，……8个8，9个9填入右图的**中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道a，b，c，d，e，f，g各不相同；那么，七位数是。
答案：6732489
解答：a，b，c，d，e，f，g中不可能有1，也不可能有5，只能是各一个。容易确定2个2和3个3的位置，如图。
注意到9只能填在a或者g，而且一定要沿着**的边界填。如果a填9，那么8不能填在f或g，否则9右边的两格不能填，因此8只能填在b，容易验证此时不可能。因此g=9，剩下容易得到f=8，e=4，则五位数是32489.
三、11. 如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在每个对面的**钻一个边长为4厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱），且穿透。另有一个长方体容器，从内部量，长，宽，高分别为15厘米，12厘米，9厘米，内部有水，水深3厘米。
若将正方体铁块放入长方体容器，铁块在水下部分的体积为立方厘米。
答案：315
解答：把铁块放入“高度”分为下面3厘米和上面7厘米两部分：
先把下面3厘米（等于原来水的高度！）放入水中，排开的水的体积等于该部分铁块体积：
再把余下部分也放入水中，叠在高为3厘米的那部分铁块上面，考虑水在3厘米以上的部分，该部分底面积为立方厘米，体积即为252立方厘米，所以水面一共上升的高度为252÷144=1.75厘米；
所以铁块在水下的体积等于所有被铁块排开的水的体积为15×12×1.75=315（立方厘米）。
12. 对于有1~5组成的无重复数字的五位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的一次置换操作：记首位数字为k，则将数字k与第k位上的数字对换。
例如，24513可以进行两次置换：。可以进行4次置换的五位数有___个。
答案：24解答：
注意到每次置换后，首位数字换到了第k位后在之后的置换过程中不会再改变，因此4次置换过程**现的5个五位数的首位数字互不相同，其中第五个数的首位是1.
设这五个五位数的首位数字依次是a，b，c，d，1，则可倒推得第一个五位数从左向右1在第d位，d在第c位，c在第b位，b在第a位，a在剩下的位置。因此任意一组a，b，c，d的取值都对应一个满足要求的五位数，于是可以进行4次置换的五位数共有4！=24个。
13. a、b、c三地依次分布在由西向东的同一条道路上，甲、乙、丙分别从a、b、c同时出发，甲、乙向东，丙向西；乙、丙在距离b地18千米处相遇，甲、丙在b地相遇，而当甲在c地追上乙时，丙已走过b地32千米。那么，ac间的路程是千米。
答案：120
解答：设乙、丙相遇时，丙距c地x千米；乙行这x千米时，丙又行了18+32=50千米，从而18：x=x：
50，解得x=30.于是甲、丙速度比为（18+30）：32=3：
2，所以ac间的路程是（30+18+32）=120千米。
14. 正六边形的面积是2009平方厘米，分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米。
答案：1148
解答：设六边形面积为1份，则。
所以。所以。
从而，图中阴影六边形的面积是。
15. 小明和8个好朋友去***家玩。***给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个两位数，这9个两位数互不相同，且每个小朋友只能看见别人帽子上的数。
老师在纸上有写了一个数a，问这9位同学：“你知不知道自己帽子上的数能否被a整除？知道的请举手。
”结果有4人举手。老师又问：“选择你知不知道自己帽子上的数能否被24整除？
知道的请举手。”结果有6人举手。已知小明两次都举手了，并且这9个小朋友都足够聪明且从不说谎，那么小明看到的别人帽子上的8个两位数的总和是。
答案：438
解答：第一轮举手的4位同学都知道自己帽子上的数不能被a整除（因为他们不可能知道自己帽子上的数能被a整除），说明这4个同学看到了两位数中所有的a的倍数，因此两位数中a的倍数恰好5个，而且写在没有举手的5位同学的帽子上，由此可知a=17，18或19，且第一轮后，没有举手的五位同学已经知道了自己帽子上的数（举手的4人之所以举手是因为他们都看到了另4个a的倍数）。
第二轮举手的6人中，第一轮没举手的5位同学肯定都举手。小明也举手了，说明小明看到了所有24的倍数，但是另外3人没有看到，因此另外3人帽子上的数都是24的倍数。而两位数中24的倍数有4个，这说明在5个a的倍数中有一个是24的倍数，因此a不能等于17或19，只能等于18，于是小明看到的数位18，36，54，72，90，24，48，96，总和是438.
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