2024年中考数学压轴测试题专题动点问题

2012年中考数学压轴测试题专题2 动点问题。

1. （2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形aob中，∠aob=90°，点c是弧ab上的一个动点（不与点a、b重合）od⊥bc，oe⊥ac，垂足分别为d、e．

1）当bc=1时，求线段od的长；

2）在△doe中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

3）设bd=x，△doe的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

答案】解：（1）∵点o是圆心，od⊥bc，bc=1，∴bd=bc=。

又∵ob=2，∴。

2）存在，de是不变的。

如图，连接ab，则。

d和e是中点，∴de=。

3）∵bd=x，∴。

∠1=∠2，∠3=∠4，∠aob=900。

过d作df⊥oe，垂足为点f。∴df=of=。

由△bod∽△edf，得，即。

解得ef=x。oe=。

考点】垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。

分析】（1）由od⊥bc，根据垂径定理可得出bd=bc= ，在rt△bod中利用勾股定理即可求出od的长。

2）连接ab，由△aob是等腰直角三角形可得出ab的长，再由d和e是中点，根据三角形中位线定理可得出de=。

3）由bd=x，可知，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过d作df⊥oe，则df=of=，ef=x，oe=，即可求得y关于x的函数关系式。

∵，点c是弧ab上的一个动点（不与点a、b重合），∴

2. （2012福建南平14分）如图，在△abc中，点d、e分别在边bc、ac上，连接ad、de，且∠1=∠b=∠c．

1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）

答：结论一：；结论二：；结论三：．

2）若∠b=45°，bc=2，当点d在bc上运动时（点d不与b、c重合），求ce的最大值；

若△ade是等腰三角形，求此时bd的长．

注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）

答案】解：（1）ab=ac；∠aed=∠adc；△ade∽△acd。

2）①∵b=∠c，∠b=45°，∴acb为等腰直角三角形。

∠1=∠c，∠dae=∠cad，∴△ade∽△acd。

ad：ac=ae：ad，∴

当ad最小时，ae最小，此时ad⊥bc，ad=bc=1。

ae的最小值为。∴ce的最大值=。

当ad=ae时，∴∠1=∠aed=45°，∴dae=90°。

点d与b重合，不合题意舍去。

当ea=ed时，如图1，∴∠ead=∠1=45°。

ad平分∠bac，∴ad垂直平分bc。∴bd=1。

当da=de时，如图2，△ade∽△acd，∴da：ac=de：dc。

dc=ca=。∴bd=bc－dc=2－。

综上所述，当△ade是等腰三角形时，bd的长的长为1或2－。

考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。

分析】（1）由∠b=∠c，根据等腰三角形的性质可得ab=ac；由∠1=∠c，∠aed=∠edc+∠c得到∠aed=∠adc；又由∠dae=∠cad，根据相似三角形的判定可得到△ade∽△acd。

2）①由∠b=∠c，∠b=45°可得△acb为等腰直角三角形，则，由∠1=∠c，∠dae=∠cad，根据相似三角形的判定可得△ade∽△acd，则有ad：ac=ae：ad，即，当ad⊥bc，ad最小，此时ae最小，从而由ce=ac－ae得到ce的最大值。

分当ad=ae，，ea=ed，da=de三种情况讨论即可。

3. （2012甘肃兰州12分）如图，rt△abo的两直角边oa、ob分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，o为坐标原点，a、b两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点b，且顶点在直线x＝上．

1)求抛物线对应的函数关系式；

2)若把△abo沿x轴向右平移得到△dce，点a、b、o的对应点分别是d、c、e，当四边形abcd是菱形时，试判断点c和点d是否在该抛物线上，并说明理由；

3)在(2)的条件下，连接bd，已知对称轴上存在一点p使得△pbd的周长最小，求出p点的坐标；

4)在(2)、(3)的条件下，若点m是线段ob上的一个动点(点m与点o、b不重合)，过点m作∥bd交x轴于点n，连接pm、pn，设om的长为t，△pmn的面积为s，求s和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，s是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时m点的坐标；若不存在，说明理由．

答案】解：（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点b(0，4)，∴c＝4。

顶点在直线x＝上，∴，解得。

所求函数关系式为。

2）在rt△abo中，oa＝3，ob＝4，∴。

四边形abcd是菱形，∴bc＝cd＝da＝ab＝5。

c、d两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，当x＝5时，；

当x＝2时，。

点c和点d都在所求抛物线上。

3）设cd与对称轴交于点p，则p为所求的点，设直线cd对应的函数关系式为y＝kx＋b，则，解得，。∴直线cd对应的函数关系式为。

当x＝时，。∴p()。

4）∵mn∥bd，∴△omn∽△obd。，即，得。

设对称轴交x于点f，则。，0＜t＜4)。，0＜＜4，当时，s取最大值是。此时，点m的坐标为(0，)。

考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质。

分析】（1）根据抛物线y＝x2＋bx＋c经过点b(0，4)，以及顶点在直线x＝上，得出b，c即可。

2）根据菱形的性质得出c、d两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x＝5或2时，y的值即可。

3）首先设直线cd对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝时，求出y即可。

4）利用mn∥bd，得出△omn∽△obd，进而得出，得到，从而表示出△pmn的面积，利用二次函数最值求出即可。

4. （2012广东省9分）如图，抛物线与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，连接bc、ac．

1）求ab和oc的长；

2）点e从点a出发，沿x轴向点b运动（点e与点a、b不重合），过点e作直线l平行bc，交ac于点d．设ae的长为m，△ade的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

3）在（2）的条件下，连接ce，求△cde面积的最大值；此时，求出以点e为圆心，与bc相切的圆的面积（结果保留π）．

答案】解：（1）在中，令x=0，得y=－9，∴c（0，﹣9）；

令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴a（﹣3，0）、b（6，0）。

ab=9，oc=9。

2）∵ed∥bc，∴△aed∽△abc，∴，即：。

s=m2（0＜m＜9）。

3）∵s△aec=aeoc=m，s△aed=s=m2，s△edc=s△aec﹣s△aed

﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。

△cde的最大面积为，此时，ae=m=，be=ab﹣ae=。

又，过e作ef⊥bc于f，则rt△bef∽rt△bco，得：，即：。

以e点为圆心，与bc相切的圆的面积 s⊙e=πef2=。

考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。

分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定c点坐标；当y=0时，可确定a、b点的坐标，从而确定ab、oc的长。

2）直线l∥bc，可得出△aed∽△abc，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点e与点a、b不重合，可确定m的取值范围。

（3）①首先用m列出△aec的面积表达式，△aec、△aed的面积差即为△cde的面积，由此可得关于s△cde关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到s△cde的最大面积以及此时m的值。

过e做bc的垂线ef，这个垂线段的长即为与bc相切的⊙e的半径，可根据相似三角形△bef、△bco得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。

5. （2012贵州毕节16分）如图，直线l1经过点a（－1，0），直线l2经过点b(3，0), l1、l2均为与y轴交于点c(0，)，抛物线经过a、b、c三点。

1）求抛物线的函数表达式；

2）抛物线的对称轴依次与轴交于点d、与l2交于点e、与抛物线交于点f、与l1交于点g。求证：de=ef=fg;

3)若l1⊥l2于y轴上的c点处，点p为抛物线上一动点，要使△pcg为等腰三角形，请写出符合条件的点p的坐标，并简述理由。

答案】解：（1）∵抛物线经过a（－1，0），b（3，0），c（0，）三点，，解得。

抛物线的解析式为：．（2）证明：设直线l1的解析式为y=kx+b，由直线l1经过a（－1，0），c（0，），得，解得，∴直线l1的解析式为：y=-x 。

直线l2经过b（3，0），c（0，）两点，同理可求得直线l2解析式为：y= x 。

抛物线，对称轴为x=1，d（1，0），顶点坐标为f（1，）

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