钦州二中2014届高三数学模拟试题（7）
1.已知分别在射线(不含端点)上运动， ,在中，角、、所对的边分别是、、.
ⅰ)若、、依次成等差数列，且公差为2.求的值；
ⅱ)若， ,试用表示的周长，并求周长的最大值。
解(ⅰ)成等差，且公差为2,
. 又， ,
恒等变形得，解得或。又，
ⅱ)在中。的周长
又， 当即时，取得最大值。
2、（12分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：
两项技术指标都达标的零件为合格品。
ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？
ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？
ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求与。
解：（ⅰ设、两项技术指标达标的概率分别为、
由题意得3分。
解得：或，∴.
即，一个零件经过检测为合格品的概率为6分。
ⅱ）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为。
10分。ⅲ）依题意知～b(4,)，
3．（12分）甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了 105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．
ⅰ）计算x，y的值；（ⅱ根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数的数学期望；
ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．
4．(12分)已知正项数列中，a1=1,且log3an,log3an+1是方程x2 (2n1)x+bn=0
的两个实根。 (1)求a2,b1; (2)求数列的通项公式；
3)若，是前项和， ,当时，试比较与的大小。
4.解：(1), 当时， ,2), 的奇数项和偶数项分别是公比为9的等比数列。
当时， =0, =0,. 当时，
0+= 综上，当时， ,当时，.
法2）猜测时，用数学归纳法证明。
当时，已证。
假设时，成立。
当时， 即时命题成立根据①②得当时，
综上，当时， ,当时，.
5. （12分）如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上且，，，是的中点，四面体的体积为。 （1）求二面角的正切值；
2）求直线到平面所成角的正弦值；
3）在棱上是否存在一点，使异面直线与所成的角为，若存在，确定点的位置，若不存在，说明理由。
5.解：（1）由四面体的体积为。∴
设二面角的大小为为中点， 同理∴ ∴
2）由。为等腰三角形，ge为的角平分线，作交bg的延长线于k,由平面几何知识可知： 设直线与平面所成角为。
8分。法二：建系）
3）两两垂直，分别以为轴建立坐标系。
假设存在且设。
又直线与所成的角为。
化简得： 不满足这样的点不存在。
6.（12分）如图，在直角梯形abcd中，ad//bc，∠adc=90，ae⊥平面abcd，ef//cd， bc=cd=ae=ef==1． （求证：ce//平面abf；（ⅱ求证：
be⊥af；
ⅲ）在直线bc上是否存在点m，使二面角e-md-a的大小为？
若存在，求出cm的长；若不存在，请说明理由．
试题解析：（i）证明：如图，作 fg∥ea，ag∥ef，连结eg交af于h，连结bh，bg， ef∥cd且ef=cdag∥cd， 即点g在平面abcd内．
由ae⊥平面abcd知ae⊥ag， ∴四边形aefg为正方形， cdag为平行四边形，
h为eg的中点，b为cg中点，∴ bh∥ce，∴ ce∥面abf．
，设面emd的一个法向量，考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角。
7、（12分）已知抛物线：和点，若抛物线上存在不同两点、满足．（1）求实数的取值范围；
2）当时，抛物线上是否存在异于、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
解法1：（1）不妨设a，b，且，，∴即，，即的取值范围为．
2）当时，由（1）求得、的坐标分别为、．
假设抛物线上存在点（且），使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线．
设经过、、三点的圆的方程为，
则 整理得。
函数的导数为，∴抛物线在点处的切线的斜率为，经过、、三点的圆在点处的切线斜率为．，∴直线的斜率存在．∵圆心的坐标为， ，即． ②由①、②消去，得．
即。故满足题设的点存在，其坐标为．
解法2：（1）设，两点的坐标为，且。，可得为的中点，即．
显然直线与轴不垂直，设直线的方程为，即， 将代入中，得．
故的取值范围为．
2）当时，由（1）求得，的坐标分别为．
假设抛物线上存在点（且），使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线．
设圆的圆心坐标为，
即解得 抛物线在点处切线的斜率为，而，且该切线与垂直，． 即．
将，代入上式，得．
即．∵且，∴．
故满足题设的点存在，其坐标为．
8．（12分）已知函数．
（ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （求的单调减区间； （当时，设在区间上的最小值为，令， 求证：．
8、(1)当时，
曲线在点处的切线方程为： 即
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