2015年高考模拟试卷(7)
第ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．
1．复数。2． 设全集＝，＝则。
3． 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是。
4．某单位有职工52人，现将所有职工按l,2,3,…,52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是___
5．执行如图所示的程序框图，若输出的值为11,则输入自然数的。
值是 ．6．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为___
7． 已知各项均为正数的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值为 .
8． 给出下列几个命题：
若函数是定义域为的奇函数，对于任意的。
都有，则函数的图象关于直线对称；
已知是函数定义域内的两个值，当时，，则是减函数；
设函数的最大值和最小值分别为和，则；
若是定义域为的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数．
其中正确的命题序号是写出所有正确命题的序号）
9．设f1、f2是双曲线－y2＝1的两个焦点，p在双曲线上，当△f1pf2的面积为2时，的值为 ．
10．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为。
11．已知正实数满足，则的最大值为。
12．已知圆c：，点p在直线l：上，若圆c上存在两点a、b使得，则点p的横坐标的取值范围是。
13．在中，内角所对的边分别为，，，令．
若函数（是常数）只有一个零点．则实数的取值范围是。
14．设两个向量和，其中．
若，则的取值范围是。
二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15．（本小题满分14分）在中，角的对边分别为，已知，且成等比数列．
1)求的值；
2)若，求的值．
16．（本小题满分14分）如图，直角梯形中，∥,平面平面，为等边三角形，分别是的中点，．
1)证明；2)证明∥平面；
3)若，求几何体的体积．
17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，其焦点在圆上．
1）求椭圆的方程；
2）设是椭圆上的三点（异于椭圆的顶点），且存在锐角，使。
求证：直线与的斜率的乘积为定值；
求的值．18． (本小题满分16分) 某小区想利用一矩形空地建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，，且中，，经测量得到．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点作一条直线交于，从而得到五边形的市民健身广场．
1）假设，试将五边形的面积表示为的函数，并注明函数的定义域；
2）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．
19．（本小题满分16分）已知函数（）．
1）当时，求的图象在处的切线方程；
2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；
3）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，求证：（其中是的导函数）．
20．（本小题满分16分）设数列的各项均为正数，若对任意的，存在，使得成立，则称数列为“型”数列．
1）若数列是“型”数列，且，，求；
2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明数列是等比数列．
第ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括a、b、c、d四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
a．（选修４－１几何证明选讲）如图，的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为上一点，，求证：．
b．（选修４－２矩阵与变换）已知二阶矩阵有特征值，及对应的一个特征向量。
并且对应的变换将点．变换成，求矩阵．
c．（选修４－４坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆c的圆心坐标为，半径为2． 以极点为原点，极轴为的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）
1）求圆c的极坐标方程；
2）设与圆c的交点为， 与轴的交点为，求。
d．（选修４－５不等式选讲）已知，，为正实数，若，求证：.
必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点．
1）证明；2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．
23．（本小题满分10分）已知。
1）若，求证是奇数；
2）求证对于任意，都存在正整数，使得．
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