华东理工大学2008–2009学年第一学期。
高等数学(上)11学分》期末考试试卷 2009.1 a开课学院：_理学院_ ，考试形式：_闭卷_，所需时间： 120 分钟。
考生姓名学号班级任课老师。
注意：本试卷共三大张，九大题。
一、填空题（每小题4分，共28分）
1、 不定积分。
答： 2、函数，且当时，～，则。答：
答： 4、曲线在点处的曲率为。
答： 5、设有一阶连续的导数，，且，，则。
答： 6、（11学分。
（8学分。答：
7、（11学分）计算。
答：8学分）设，则。
答： 二、选择题（每小题4分，共20分）
1、下列三个命题
1） 设点为连续曲线上的拐点，则；
2） 设为二阶可导函数的极大值点，则；
3） 设为一阶可导函数在上的最大值点，则。
中正确的有几个。
a）0个b）1个。
c）2个d）3个。
答：a2、曲线在点（1，0）处。
a）没有切线b）切线为。
c）切线为d）切线为。
答：b3、不定积分。
ab）c） （d）
答：d4、函数拐点的个数为。
a）0个b）1个。
c）2个d）3个。
答：d5、（11学分）数项级数。
a）绝对收敛 （b）条件收敛。
c）发散d）敛散性不能确定。
8学分）设函数连续，，则。
a） （b）
cd）答：b
三、（本题8分）
设函数由确定，求。
解：两边关于求导3分。
所以2分 3分。
四、（本题8分）
设，证明。解：只要证明函数在上单调递减。
2分。设2分。
由于，所以在上单调递减。
从而2分。于是，，所以在上单调递减。
所以，，即2分。
五、（本题8分）
计算积分。解4分。
2分。2分。
六、（本题8分）
11学分）求与轴所围成的图形分别绕轴和轴旋转所得旋转体的体积。
解：绕轴3分。
1分。绕轴3分。
1分。8学分）计算极限。
解：由于，所以 ，3分。
3分。2分。
七、（本题6分）有一个圆锥形容器，锥顶向下放置，容器深厘米，圆形的容器口半径为厘米。现向该容器以每秒立方厘米的速度注入水，求当水面升高到厘米时，水面升高的速度为多少？
解：设水面高为厘米，水平面半径为厘米时，体积为立方厘米。
所以，。又由条件，2分。
两边求导2分。
由条件，令，代入。
厘米/秒2分。
八、（本题8分）（11学分）求幂级数的收敛域与和函数。
解：由于，由比值判别法知，当时，绝对收敛；当时，发散。
由，得，所以幂级数收敛区间为，收敛半径为。 3分。
而当时，幂级数化为，是发散的。
综合以上讨论知幂级数的收敛域为1分。
以下求和函数。设，则。
3分。所以1分。
八、（8学分）计算定积分。
解：设则2分。
2分。2分。
2分。九、（本题6分）设在上连续，在内可微，且在内无零点，证明，使得。
证明：设2分。
则在上连续，在内可微，且，所以，由罗尔定理，使得。
即3 分。由于在内无零点，所以1分。
对在上运用拉格朗日中值定理，存在使得，所以1 分。
所以，能化为。1分。
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