2024年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工类）解析。
一、 选择题。
1. 方程+6x +13 =0的一个根是( )
a. -3+2i b. 3+2i c. -2 + 3i d. 2 + 3i
解析】选a 对于一元二次方程，无论是否有实根，都有韦达定理成立，即，，而且复数根是成对出现，即其复数根为，可知选a。
相关知识点】复数，一元二次方程。
难易度】易。
2 命题“”的否定是( )
a . x0crq，∈q b . x0∈crq ， q
c . x0crq ，∈q d. x0∈crq ， q
解析】d 特称命题的否定是全称命题，反之亦然。对含一个量词的命题的否定，无论是语义还是形式上都很好理解。注意否命题与否定的不同。我们还没涉及到特称、全称命题的否命题。
相关知识点】含一个量词的命题，命题的否定。
难易度】易。
3 已知二次函数y =f(x)的图像如图所示 ，则它与x轴所围图形的面积为( )
a. b. c. d.
解析】b 解析式，
相关知识点】对图像写出二次函数的解析式，求定积分。
难易度】易。
4.已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为( )
a. b.3π c. d.6π[**：学科网]
解析】b 原图是一个圆柱体被斜截，这不是一个规则的几何体，下部分是圆柱体，上部分是被截取的圆柱体，
相关知识点】三视图，几何体的体积计算。
难易度】易。
5.设a∈z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=(
a. 0 b.1 c.11 d.12
解析】d ，
相关知识点】二项式定理。
难易度】易。
6.设a,b,c,x,y,z是正数，且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则( )
ab. c. d.
解析】c 由柯西不等式知，当且仅当。由题意知上式取等号，且，由合比定理知选c。（合比定理学生没学，也可不从这个定理求得结果） （我们对三维柯西不等式在后来复习中没怎么复习到）
相关知识点】柯西不等式。
难易度】中。
7.定义在(-∞0)∪(0，+∞上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”。现有定义在(-∞0)∪(0，+∞上的如下函数：
① f(x)=x；② f(x)=2x；③；f(x)=ln|x |。
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )
a.①②b.③④c.①③d.②④
解析】c ①符合题意，新公比是原公比的平方；③符合题意。
相关知识点】等比数列，初等函数的基本性质。
难易度】易。
8.如图，在圆心角为直角的扇形oab中，分别以oa，ob为直径作两个半圆。在扇形oab内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
a. b. c. d.
解析】a 设oa=1，扇形面积为，连接ab可知空白面积为，选a
相关知识点】几何概型问题，割补法求面积。
难易度】中
9. 函数在区间[0,4]上的零点个数为( )
a.4 b.5 c.6 d.7
解析】c 设，由余弦图象知有5个零点，加上0，共有6个零点。
相关知识点】函数的零点，初等函数（三角函数）性质，换元法
难易度】易。
10. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积v，求其直径d的一个近似公式。
人们还用过一些类似的近似公式。根据π=3.14159…..
判断，下列近似公式中最精确的一个是( )
a. b. c. d.
解析】d 球的体积公式，与π相差约0.00159，，与π相差约0.00127，选d
相关知识点】球的体积公式，近似计算。
难易度】难
二、填空题（一）必考题（11-14题）
11.设△abc的内角a，b，c，所对的边分别是a，b，c。若（a+b-c）（a+b+c）=ab，则角c
解析】 由已知条件得。
相关知识点】余弦定理。
难易度】易。
12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s
解析】9 框图运行过程是：s=1,a=3,n=1<3?,y,n=2;s=4,a=5,n=2<3?,y,n=3;s=9,a=7,n=3<3?,n,输出s的值9。
相关知识点】程序框图。
难易度】易。
13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。
显然2位回文数有9个：11,22,33…，99．3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。
则。ⅰ）4位回文数有___个；
ⅱ）2n＋1（n∈n+）位回文数有___个。[com]
解析】（ⅰ4位回文数只需考虑前两位，；（2n＋1（n∈n+）位回文数，先考虑前n位，，在考虑中间一位数，10种，所以有。
相关知识点】计数原理，合情推理。
难易度】易。
14.如图，双曲线的两顶点为a1，a2，虚轴两端点为b1，b2，两焦点为f1，f2。若以a1a2为直径的圆内切于菱形f1b1f2b2，切点分别为a，b，c，d。则。
ⅰ）双曲线的离心率e=__
ⅱ）菱形f1b1f2b2的面积s1与矩形abcd的面积s2的比值=__
解析】（ⅰ直线，原点到直线的距离为，，
ⅱ）由直角三角形的射影定理可算得，相关知识点】双曲线的基本几何性质，离心率，射影定理。
难易度】难
15.（选修4-1：几何证明选讲）
如图，点d在⊙o的弦ab上移动，ab=4，连接od，过点d作od的垂线交⊙o于点c，则cd的最大值为。
解析】2 注意到，od减小，cd增大，当且仅当时，cd最大。
相关知识点】圆的几何性质。
难易度】易
16.（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t为参数）相交于a，b来两点，则线段ab的中点的直角坐标为。
解析】射线，曲线，联立解得，所以中点为。
相关知识点】参数方程与一般方程的转化，直线与曲线（抛物线，二次函数图象）的交点。
难易度】易。
三、解答题：
17.（本小题满分12分）
已知向量，，设函数的图像关于直线x=π对称，其中为常数，且。
1） 求函数的最小正周期；
2） 若的图像经过点，求函数在区间上的取值范围。
解析】（1）由已知条件得，
相关知识点】向量的数量积运算，三角函数恒等变换，求三角函数值域。
难易度】易。
18.（本小题满分12分）已知等差数列前三项的和为－3，前三项的积为8.
1）求等差数列的通项公式；
2）若成等比数列，求数列的前n项的和。
解析】（1）列方程可求得或，所以或。
2）由已知条件得，设数列的前n项的和为，当时，；当时，；
当时， 相关知识点】等差数列的基本性质，等差数列的求和。
难易度】易
19.（本小题满分12分）如图1，∠acb=45°，bc=3，过动点a作ad⊥bc，垂足d**段bc上且异于点b，连接ab，沿ad将△abd折起，使∠bdc=90°（如图2所示），[**。
1）当bd的长为多少时，三棱锥a-bcd的体积最大；
2）当三棱锥a-bcd的体积最大时，设点e，m分别为棱bc，ac的中点，试在棱cd上确定一点n，使得en⊥bm，并求en与平面bmn所成角的大小。
解析】（1）设，则，当且仅当即时上式取等号。
2）以d点为原点建系，可求得，平面bmn的一个法向量为，，所以en与平面bmn所成角的大小为。
相关知识点】立体几何，用向量解决立体几何题。
难易度】易
20．（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量x（单位：mm）对工期的影响如下表：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量x小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
i）工期延误天数y的均值与方差；
ⅱ）在降水量x至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。
太简单~飘过~
21.（本小题满分13分）设a是单位圆x2+y2=1上的任意一点，是过点a与x轴垂直的直线，d是直线与x轴的交点，点m在直线l上，且满足丨dm丨=m丨da丨（m>0,且m≠1）。当点a在圆上运动时，记点m的轨迹为曲线c。
i）求曲线c的方程，判断曲线c为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线c于p、q两点，其中p在第一象限，它在y轴上的射影为点n，直线qn交曲线c于另一点h，是否存在m，使得对任意的k>0，都有pq⊥ph？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。
第二问计算就行，没啥特别的~~
22.(本小题满分14分)
i）已知函数，其中r为有理数，且0（ii）试用（i）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；
iii）请将（ii）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。
注：当α为正有理数时，有求导公式(xα）r=αxα-1
解析】（i），ii)由（i）知：成立，则有，若，令，，若，命题显然成立。
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