一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）已知，，，是两个向量集合，则
a． b． c． d．
2．（5分）设为非零实数，函数的反函数是
a． b．
c． d．
3．（5分）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则复数为实数的概率为
a． b． c． d．
4．（5分）函数的图象按向量平移到，的函数解析式为，当为奇函数时，向量可以等于
a．， b．， c．， d．，
5．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为
a．18 b．24 c．30 d．36
6．（5分）设，则
a． b．0 c．1 d．
7．（5分）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是
a．， b．，，
c．， d．，，
8．（5分）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为
a．2000元 b．2200元 c．2400元 d．2800元。
9．（5分）设球的半径为时间的函数．若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径．
a．成正比，比例系数为 b．成正比，比例系数为
c．成反比，比例系数为 d．成反比，比例系数为。
10．（5分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是
a．289 b．1024 c．1225 d．1378
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）已知关于的不等式的解集，则实数 ．
12．（5分）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在，内的频数为 ，数据落在内的概率约为 ．
13．（5分）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2023年北京奥运会，我国发**“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为．已知地球半径约为，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 ．（结果中保留反余弦的符号）．
14．（5分）已知函数，则的值为 ．
15．（5分）已知数列满足：为正整数），若，则所有可能的取值为 ．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（10分）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为，记随机变量，求的分布列和数学期望．
17．（12分）已知向量，，．
1）求向量的长度的最大值；
2）设，且，求的值．
18．（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，，点是上的点，且。
ⅰ）求证：对任意的，都有。
ⅱ）设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，求的值．
19．（13分）已知数列的前项和为正整数）．
ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明．
20．（14分）过抛物线的对称轴上一点，的直线与抛物线相交于、两点，自、向直线作垂线，垂足分别为、．
ⅰ）当时，求证：；
ⅱ）记、△、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立？若存在，求出的值，否则说明理由．
21．（14分）在上定义运算：、是常数），已知，，．
如果函数在处有极值，试确定、的值；
求曲线上斜率为的切线与该曲线的公共点；
记的最大值为，若对任意的、恒成立，试求的取值范围．（参考公式：
2023年湖北省高考数学试卷（理科）
参***与试题解析。
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）已知，，，是两个向量集合，则
a． b． c． d．
解答】解：由已知可求得，再由交集的含义，有，所以选．
2．（5分）设为非零实数，函数的反函数是
a． b．
c． d．
解答】解：由函数得：
函数的反函数是：
故选：．3．（5分）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则复数为实数的概率为
a． b． c． d．
解答】解：因为为实数所以。
故则可以取，共6种可能，所以，故选：．
4．（5分）函数的图象按向量平移到，的函数解析式为，当为奇函数时，向量可以等于
a．， b．， c．， d．，
解答】解：：将函数向左平移个单位，再向上平移2个单位可得到。
故选：．5．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为
a．18 b．24 c．30 d．36
解答】解：每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班。
用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，元素还有一个排列，有种，而甲乙被分在同一个班的有种，满足条件的种数是。
故选：．6．（5分）设，则
a． b．0 c．1 d．
解答】解：令和分别代入二项式中得。
由平方差公式。
得所以。故选：．
7．（5分）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是
a．， b．，，
c．， d．，，
解答】解：根据题意，双曲线中，，则，易得准线方程是。
所以即。所以方程是。
联立可得。由△解得，
故选：．8．（5分）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为
a．2000元 b．2200元 c．2400元 d．2800元。
解答】解：设需使用甲型货车辆，乙型货车辆，运输费用元，根据题意，得线性约束条件。
求线性目标函数的最小值．
解得当时，．
故选：．9．（5分）设球的半径为时间的函数．若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径．
a．成正比，比例系数为 b．成正比，比例系数为
c．成反比，比例系数为 d．成反比，比例系数为。
解答】解：由题意可知球的体积为，则，由此可得，而球的表面积为，所以，即。
故选：．10．（5分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是
a．289 b．1024 c．1225 d．1378
解答】解：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除，又由，与无正整数解，故选：．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）已知关于的不等式的解集，则实数 ．
解答】解：不等式，又关于的不等式的解集，是方程的一个根，故答案为：．
12．（5分）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在，内的频数为 64 ，数据落在内的概率约为 ．
解答】解：观察直方图易得。
数落在，内的频率；
数据落在内的频率；
样本数落在，内的频数为，频率为．
故答案为64 0.4．
13．（5分）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2023年北京奥运会，我国发**“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为．已知地球半径约为，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 ．（结果中保留反余弦的符号）．
解答】解：如图所示，可得，则在中可得：
所以。球面距离的最大值约为：．
故答案为：．
14．（5分）已知函数，则的值为 1 ．
解答】解：因为。
所以。解得。
故。故答案为1．
15．（5分）已知数列满足：为正整数），若，则所有可能的取值为 4，5，32 ．
解答】解：由题意知中任何一项均为正整数，若为奇数，则，得不满足条件．
若为偶数，则，满足条件．．
若为奇数，则，得不满足条件．
若为偶数，则，满足条件．．
1）若为奇数，则，满足条件．
若为奇数，则，不满足条件．
若为偶数，则满足条件．
若为奇数，则，得不满足条件．
若为偶数，则，满足条件．
2）若为偶数，则，满足条件．
若为奇数，则，得不满足条件．
若为偶数，则，满足条件．
若为奇数，则，得，满足条件．
若为偶数，则，满足条件．
故的取值可以是4，5，32．
故答案为：4，5，32．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（10分）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为，记随机变量，求的分布列和数学期望．
解答】解：随机变量，依题意的可能取值是5，6，7，8，9，10，11得到；
的分布列为。
17．（12分）已知向量，，．
1）求向量的长度的最大值；
2）设，且，求的值．
解答】解：（1），则。
即．当时，有，所以向量的长度的最大值为2．
2）由（1）可得，即．
由，得，即，或，，于是或．
18．（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，，点是上的点，且。
ⅰ）求证：对任意的，都有。
ⅱ）设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，求的值．
解答】解：（ⅰ证法1：如图1，连接、，由地面是正方形可得．
平面，是在平面上的射影，
ⅱ）解法1：如图1，由平面知，平面，平面，．
2023年湖北省高考数学试卷 文科
一 选择题 共10小题，每小题5分，满分50分 1 若向量。1，1 1，1 4，2 则。显示解析。2 函数，的反函数是 显示解析。3 sin 是 的 显示解析。4 从5位同学中选派4位同学在星期。五 星期。六 星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期。六 星期日各有1人参加，则不同的...
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