一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（ ）
a．3 b．5 c．6 d．10
2．（5分）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）
a． b．c． d．
3．（5分）设p和q是两个集合，定义集合p﹣q=，如果，q=，那么p﹣q等于（ ）
a． b． c． d．
4．（5分）平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：
m′⊥n′m⊥n；
m⊥nm′⊥n′；
m′与n′相交m与n相交或重合；
m′与n′平行m与n平行或重合．
其中不正确的命题个数是（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
5．（5分）已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则=（
a．0 b．1 c． d．
6．（5分）若数列满足（p为正常数），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ ）
a．甲是乙的充分条件但不是必要条件。
b．甲是乙的必要条件但不是充分条件。
c．甲是乙的充要条件。
d．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件。
7．（5分）双曲线的左准线为l，左焦点和右焦点分别为f1和f2；抛物线c2的准线为l，焦点为f2；c1与c2的一个交点为m，则等于（ ）
a．﹣1 b．xoy c． d．
8．（5分）已知两个等差数列和的前n项和分别为an和bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是（ ）
a．2 b．3 c．4 d．5
9．（5分）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（ ）
a． b． c． d．
10．（5分）已知直线（θ是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
a．60条 b．66条 c．72条 d．78条。
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）已知函数y=2x﹣a的反函数是y=bx+3，则a= ；b= ．
12．（5分）复数z=a+bi，a，b∈r，且b≠0，若z2﹣4bz是实数，则有序实数对（a，b）可以是 ．（写出一个有序实数对即可）
13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数2x+y的最小值为 ．
14．（5分）某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答）
15．（5分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：
ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ；
ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）已知△abc的面积为3，且满足0≤≤6，设和的夹角为θ．
ⅰ）求θ的取值范围；
ⅱ）求函数f（θ）2sin2的最大值与最小值．
17．（12分）
在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：
ⅰ）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；
ⅱ）估计纤度落在[1.38，1.50）中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；
ⅲ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.30，1.34）的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．
18．（12分）如图，在三棱锥v﹣abc中，vc⊥底面abc，ac⊥bc，d是ab的中点，且ac=bc=a，∠vdc=θ（0＜θ＜
ⅰ）求证：平面vab⊥平面vcd；
ⅱ）当确定角θ的值，使得直线bc与平面vab所成的角为．
19．（12分）在平面直角坐标系xoy中，过定点c（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p＞0）相交于a、b两点．
ⅰ）若点n是点c关于坐标原点o的对称点，求△anb面积的最小值；
ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以ac为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
20．（13分）已知定义在正实数集上的函数f（x）=x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
ⅱ）求证：f（x）≥g（x） （x＞0）．
21．（14分）已知m，n为正整数．
ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞﹣1时，（1+x）m≥1+mx；
ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1，2…，n；
ⅲ）求出满足等式3n+4n+5n+…+n+2）n=（n+3）n的所有正整数n．
2024年湖北省高考数学试卷（理科）
参***与试题解析。
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）
考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有。
分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得方程，求使方程有整数解的最小n值即可．
解答】解：由展开式通项有=cnr3n﹣r（﹣2）rx2n﹣5r
由题意得，故当r=2时，正整数n的最小值为5，故选项为b
点评】本题主要考查二项式定理的基本知识，以通项公式切入探索，由整数的运算性质易得所求．本题中“非零常数项”为干扰条件．
2．（5分）
考点】函数y=asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有。
分析】法一：以平移公式切入，利用向量解答即可；法二：利用平移的意义直接推出结果．
解答】解：法一由向量平移的定义，在平移前、后的图象上任意取一对对应点p′（x′，y′），p（x，y），则=，代入到已知解析式中可得选a
法二由平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2个单位．
故选a．点评】本题主要考查向量与三角函数图象的平移的基本知识，易错点：将向量与对应点的顺序搞反了，或死记硬背以为是先向右平移个单位，再向下平移2个单位，误选c．为简单题．
3．（5分）
考点】元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法．菁优网版权所有。
分析】首先分别对p，q两个集合进行化简，然后按照p﹣q=，求出p﹣q即可．
解答】解：∵
化简得：p=
而q=化简得：q=
定义集合p﹣q=，p﹣q=
故选b点评】本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题．
4．（5分）
考点】空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有。
分析】由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察具体的正方体判断，即可得答案．
解答】解：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察如图的正方体：
ac⊥bd但a1c，bd1不垂直，故①错；
a1b⊥ab1但在底面上的射影都是ab故②错；
ac，bd相交，但a1c，bd异面，故③错；
ab∥cd但a1b，c1d异面，故④错。
故选d点评】本题主要考查空间线面之间位置关系，以及射影的意义理解．关键是要理解同一条直线在不同平面上的射影不同；线在面内，线面平行，线面相交的不同位置下，射影也不相同．要从不用的方向看三垂线定理，充分发挥空间想象力．
5．（5分）
考点】极限及其运算．菁优网版权所有。
分析】本题考查数列的极限和运算法则，可用特殊值探索结论，即同时考查学生思维的灵活性．当不能直接运用极限运算法则时，首先化简变形，后用法则即可．本题也体现了等比数列求和公式的逆用．
解答】解析：法一特殊值法，由题意取p=1，q=2，则，可见应选c
法二∵（1+x）m﹣1=x[1+（1+x）+（1+x）2+（1+x）m﹣1]
令，m分别取p和q，则原式化为，所以原式=（分子、分母1的个数分别为p个、q个）
故选c．点评】注意到本题的易错点：取特值时忽略p和q是两个不相等的正整数的条件，误选b；或不知变形而无法求解，或者认为是型而误选b，看错项数而错选d．
6．（5分）
考点】数列的应用．菁优网版权所有。
分析】由题意可知，乙甲，但是，即甲成立，乙不一定成立，所以甲是乙的必要条件但不是充分条件．
解答】解：由等比数列的定义，若乙：是等比数列，公比为q，即则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即。
即公比不一定为q，则命题乙不成立，故选b
点评】本题是易错题．由，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选c
7．（5分）
考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有。
分析】先根据题设可知点m同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上，进而联立方程可求得|mf1|和|mf2|，代入答案可得．
解答】解：由题设可知点m同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上，故由定义可得。
故原式=，故选a．
点评】本题主要考查双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组，消元后化归曲线的基本量的计算，体现数形结合方法的重要性．
8．（5分）
考点】等差数列的前n项和．菁优网版权所有。
分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．
解答】解：由等差数列的前n项和及等差中项，可得=（n∈n*），故n=1，2，3，5，11时，为整数．故选d
点评】本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用以及分离常数法，数的整除性是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用．
已知两个等差数列和的前n项和分别为an和bn，则有如下关系=．
2024年湖北省高考数学试卷 理科
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