一、选择题（共15小题，每小题3分，计45分）每小题只有一个正确答案．
1.用科学记数法表示有理数43000应为 （
a．43×103 b．4.3×10－4 c．43×10－3 d．4.3×104
2.学校的操场上，跳高横杆与地面的关系属于 （
a．直线与直线平行 b．直线与直线垂直。
c．直线与平面平行 d．直线与平面垂直。
3.令a＝sin 60°，b＝cos 45°，c＝tan 30°，则它们之间的大小关系是 （
a．c＜b＜a b．b＜a＜c c．a＜c＜b d．b＜c＜a
4. 在一个布袋内有大小、质量都相同的球20个，其中红球6个，从中任取1个，取到红球的概率为 （
a． bc． d．
5.在下列语句中属于定理的是 （
a．在直线ab上任取一点e
b．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。
c．在同圆中，等弦所对的圆心角相等。
d．到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂线上。
6.如图1，在矩形abcd中，点e是ad上任意一点，则有 （
图 1a．△abe的周长△cde的周长＝△bce的周长。
b．△abe的面积＋△cde的面积＝△bce的面积。
c．△abe∽△dec
d．△abe∽△ebc
7.的倒数是 （
abc． d．－
8.如图2，一正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为r时，大圆的半径应为 （
图 2abc． d．2r
9.方程的实数根有 （
a．1个 b．2个c．3个 d．4个。
10. 如图3，四边形abcd内接于⊙o，若∠bcd＝100°，则∠bod等于 （
图 3a．100° b．160° c．80° d．120°
11.某村的粮食总产量为a（a为常数）吨，设该村粮食的人均产量为y（吨），人口数为x，则y与x之间的函数关系的大致图像应为图4中的 （
图 412.当x＝1时，代数式的值为2001，则当x＝－1时，代数式的值为 （
a．－1999b．－2000
c．－2001d．1999
13若所求的二次函数图像与抛物线有相同的顶点，井且在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为 （
a． b．
c． d．
14.如图5，在正三角形abc中，d，e分别在ac，ab上，且，ae＝be，则有（ ）
图 5a．△aed∽△bedb．△aed∽△cbd
c．△aed∽△abdd．△bad∽△bcd
15.如图6，已知⊙o的半径为5，两弦ab、cd相交于ab的中点e，且ab＝8，ce∶ed＝4∶9，则圆心到弦cd的距离为 （
图 6abcd．
二、填空题（共5小题，每小题4分，计20分）
16.整数3的平方根是一5的绝对值是。
17.计算。
18.梯形上、下两底（上底小于下底）的差为6，中位线的长为5，那么上底和下底长各为___
19.若方程组有两组相同的实数解，则m的取值是___
20.如图7，矩形abcd（ad＞ab）中，ab＝a，∠bda＝，作ae交bd于e，且ae＝ab，试用a与表示：ad＝__be＝__
图 7三、解答题（共6小题，计55分）．解答应写出过程。
21.（7分）如图8，三角形abc中，ab＝ac，外角∠cad＝100°，求∠b的度数．
图 822.（8分）函数y＝－3x＋2的图像上存在点p，使得点p到x轴距离等于3，求点p的坐标．
23.（8分）3月12日是植树节，初三年级170名学生去参加义务植树活动，如果男生平均一天能挖树坑3个，女生平均一天能种树7棵．正好使每个树坑种上一棵树， 问该年级的男女学生各有多少人？
24.（10分）若方程（p，q是实数）没有实数根，1）求证：；
2）试写出上述命题的逆命题；
判断（2）中的道命题是否正确，若正确**以证明；若不正确，请举一反例说明．
25.（10分）已知函数图像的顶点坐标为c，并与x轴相交于两点 a，b，且 ab＝4．
1）求实数k的值；
2）若p为上述抛物线上的一个动点（除点c外），求使成立的点p的坐标．
26．（12分）如图9，⊙o与⊙o1外切于点t，pt为其内公切线，ab为其外公切线，且a，b为切点，ab与tp相交于点p．根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明．
图 9试卷答案。
一、选择题。
1. d 2. c 3. a 4. d 5. c
6. b 7. d 8. a 9. b
10. b 11. c 12. a 13. d 14. b 15. a
二、填空题。
20. acot
三、解答题。
21. 解：∵ cad＝100°，∴bac＝80°
ab＝ac，∴ b＝∠c则∠b＝（180°－80°）/2＝50°
22. 解：由条件，直线上的点到x轴距离为3，则点p的纵坐标应为±3．
将y＝±3代入直线y＝－3x＋2，解得或， 所求点p的坐标应为与。
23．解：设男同学人数为x人，则女同学人数应为（170－x）人．
根据题意，得方程3x＝7（170－x）
解方程，得x＝119，170－x＝51
答：该年级应有男学生119人，女学生51人．
24．（1）证：由题意，方程的判别式，得．， 则有成立．
2）该命题的逆命题为：
如果，则方程（p，q是实数）没有实数根．
3）（2）中的逆命题不正确，如当p＝1，q＝－1时，，但原方程有实数根x＝－1．
25．解：（1）令，其有x轴两交点a，b的横坐标分别为x1与x2，则，∴ k＝±2
2）由，得点c1（1，－4）与c2（－1，－4），．
设点p（x，4）在抛物线上，则有，即，解得或。
所以所求得点p的坐标为，，，
26．按结论的难易程度评分，评分标准如下：
1）写出以下结论并给予证明的给6分。
pa＝pt（或pb＝pt）；
∠pat＝∠pta（或∠pbt＝∠ptb）；
∠oap＝∠otp＝rt∠（或∠o1bp＝∠o1tp＝rt∠）
2）写出以下结论并给予证明的给8分。
pa＝pb＝pt（或ab＝2pt）；
∠atb＝rt∠（或∠atb为rt∠）；
∠aot＋∠apt＝180°（或∠bo1t＋∠bpt＝180°）；
oa∥o1b
3）写出以下结论并给予证明的给10分。
oat∽△ptb（△pta∽△o1bt）
证明：∵ ab是两圆的外公切线，a、b是切点，pt是两圆内公切线，t为切点，ab与tp相交于p
∠pat＝∠pta，∠ptb＝∠pbt， ∠pat＋∠pta＋∠ptb＋∠pbt＝180°，∴pta＋∠ptb＝90°
又∵ ot⊥pt，∴ pta＋∠ota＝90°， ota＝∠ptb
又∵ oa＝ot，∴ oat＝∠ota，∴ oat∽△ptb
4）写出以下结论并给予证明的给12分。
pa·pb＝ot·o1t（或pa·pb＝oa·o1b）
证明：接（3）的证明结论△oat∽△ptb
得（1）同理可证：△pta∽△ob1t，得（2）
由（1）、（2），得，则pa·pb＝ot·o1t．
2024年杭州市中考数学试卷
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