2024年江西省中等学校招生考试。
数学试题（含答案全解全析）
第ⅰ卷(选择题，共18分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项)
1.下列四个数中，最小的数是( )
ab.0c.-2 d.2
2.某市6月份某周气温(单位：℃)为23,25,28,25,28,31,28,则这组数据的众数和中位数分别是( )
a.25,25 b.28,28 c.25,28 d.28,31
3.下列运算正确的是( )
c.(2a+1)(2a-1)=2a2-1 d.(2a3-a2)÷a2=2a-1
4.直线y=x+1与y=-2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是( )
a.-1 b.0c.1d.2
5.如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适。以下裁剪示意图中，正确的是( )
6.已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx2-4x+k2的图象大致为( )
第ⅱ卷(非选择题，共102分)
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
7.计算： =
8.据相关报道，截止到今年四月，我国已完成5.78万个农村教学点的建设任务。5.78万可用科学记数法表示为 .
9.不等式组的解集是 .
10.若α,β是方程x2-2x-3=0的两个实数根，则α2+β2= .
11.如图，在△abc中，ab=4,bc=6,∠b=60°,将△abc沿射线bc的方向平移2个单位后，得到△a'b'c',连结a'c,则△a'b'c的周长为 .
12.如图，△abc内接于☉o,ao=2,bc=2,则∠bac的度数为 .
13.如图，是将菱形abcd以点o为中心按顺时针方向分别旋转90°,180°,270°后形成的图形。若∠bad=60°,ab=2,则图中阴影部分的面积为 .
14.在rt△abc中，∠a=90°,有一个锐角为60°,bc=6.若点p在直线ac上(不与点a,c重合),且∠abp=30°,则cp的长为 .
三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)
15.计算÷.
16.小锦和小丽购买了**分别相同的中性笔和笔芯。小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元。求每支中性笔和每盒笔芯的**。
17.已知梯形abcd,请使用无刻度直尺画图。
1)在图1中画一个与梯形abcd面积相等，且以cd为边的三角形；
2)在图2中画一个与梯形abcd面积相等，且以ab为边的平行四边形。
18.有六张完全相同的卡片，分a,b两组，每组三张，在a组的卡片上分别画上“√,b组的卡片上分别画上“√,如图1所示。
1)若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上标记都是“√”的概率(请用“树形图法”或“列表法”求解);
2)若把a,b两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片，其正、反面标记如图2所示，将卡片正面朝上摆在桌上，并用瓶盖盖住标记。
若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？
若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”求猜对的概率。
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
19.如图，在平面直角坐标系中，点a,b分别在x轴、y轴的正半轴上，oa=4,ab=5.点d在反比例函数y= (k>0)的图象上，da⊥oa,点p在y轴负半轴上，op=7.
1)求点b的坐标和线段pb的长；
2)当∠pdb=90°时，求反比例函数的解析式。
20.某教研机构为了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中学生进行了调查。依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：
某校初中生阅读数学教科书统计图表。
1)求样本容量及**中a,b,c的值，并补全统计图；
2)若该校共有初中生2 300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数；
3)①根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议；
如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？
21.图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2所示。在图2中，每个菱形的边长为10 cm,锐角为60°.
1)连结cd,eb,猜想它们的位置关系并加以证明；
2)求a,b两点之间的距离(结果取整数，可以使用计算器).
参考数据： ≈1.41, ≈1.73, ≈2.45)
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
22.如图1,ab是☉o的直径，点c在ab的延长线上，ab=4,bc=2,p是☉o上半部分的一个动点，连结op,cp.
1)求△opc的最大面积；
2)求∠ocp的最大度数；
3)如图2,延长po交☉o于点d,连结db.当cp=db时，求证：cp是☉o的切线。
23.如图1,边长为4的正方形abcd中，点e在ab边上(不与点a,b重合),点f在bc边上(不与点b,c重合).
第一次操作：将线段ef绕点f顺时针旋转，当点e落在正方形上时，记为点g;
第二次操作：将线段fg绕点g顺时针旋转，当点f落在正方形上时，记为点h;
依此操作下去…
备用图。1)图2中的△efd是经过两次操作后得到的，其形状为 ,求此时线段ef的长；
2)若经过三次操作可得到四边形efgh.
请判断四边形efgh的形状为 ,此时ae与bf的数量关系是 ;
以①中的结论为前提，设ae的长为x,四边形efgh的面积为y,求y与x的函数关系式及面积y的取值范围。
六、(本大题共12分)
24.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为m,直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点a,b,若△amb为等腰直角三角形，我们把抛物线上a,b两点之间的部分与线段ab围成的图形(如图2)称为该抛物线对应的准碟形，线段ab称为碟宽，顶点m称为碟顶，点m到线段ab的距离称为碟高。
1)抛物线y=x2对应的碟宽为 ;抛物线y=4x2对应的碟宽为 ;抛物线y=ax2(a>0)对应的碟宽为 ;抛物线y=a(x-2)2+3(a>0)对应的碟宽为 ;
2)若抛物线y=ax2-4ax- (a>0)对应的碟宽为6,且在x轴上，求a的值；
3)将抛物线yn=anx2+bnx+cn(an>0)对应的准碟形记为fn(n=1,2,3,…)定义f1,f2,…,fn为相似准碟形，相应的碟宽之比即为相似比。若fn与fn-1的相似比为，且fn的碟顶是fn-1的碟宽的中点，现将(2)中求得的抛物线记为y1,其对应的准碟形记为f1.
求抛物线y2的表达式；
若f1的碟高为h1,f2的碟高为h2,…,fn的碟高为hn,则hn= ,fn的碟宽右端点横坐标为 ;f1,f2,…,fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由。
备用图。答案全解全析：
一、选择题。
因为-2<-<0<2,所以最小的数是-2,故选c.
把这组数据从小到大排列为23,25,25,28,28,28,31,出现次数最多的是28,所以这组数据的众数是28;因为最中间的一个数是28,所以中位数是28,故选b.
a项，a2+a3≠a5,此选项错误；b项，(-2a2)3=(-2)3·(a2)3=-8a6,此选项错误；c项，(2a+1)(2a-1)=(2a)2-12=4a2-1,此选项错误。故选d.
联立解得。因为两直线的交点在第一象限，所以解得a>1,故选d.
由圆台的侧面展开图可得a正确，故选a.
评析本题考查简单几何体的侧面展开图，属容易题。
由反比例函数图象可知k<-1,所以抛物线开口向下，且与y轴的交点位于点(0,1)上方，对称轴满足-1<-=0,故选d.
评析本题考查反比例函数和二次函数的图象和性质，属难题。
二、填空题。
7.答案 3
解析 ==3.
8.答案 5.78×104
解析 5.78万=5.78×104.
9.答案 x>
解析解不等式①得x>;解不等式②得x>-2,所以原不等式组的解集为x>.
10.答案 10
解析因为α、β是方程x2-2x-3=0的两个实数根，所以α+β2,αβ3,故α2+β2=(α2-2αβ=22-2×(-3)=10.
评析本题考查一元二次方程的根与系数的关系，属容易题。
11.答案 12
解析 ∵b'c'=bc=6,cc'=2,∴b'c=b'c'-cc'=4,a'b'=ab=4,∴b'c=a'b',又∵∠a'b'c=∠b=60°,△a'b'c是等边三角形，∴△a'b'c的周长是12.
评析本题考查平移变换和等边三角形的性质，属容易题。
12.答案 60°
解析连结ob、oc,作od⊥bc于点d,由垂径定理可得，bd=cd=,∴od==1,sin∠obd=,∴obd=30°,∴boc=120°,则∠bac=∠boc=60°.
评析本题考查垂径定理和圆周角与圆心角之间的关系，属容易题。
13.答案 12-4
解析 连结ob,oa,作ae⊥ob,可得∠boa=45°,∠eao=45°,进而可得ae=,be=1,oe=ae=,所以s△oad=s△oab-s△abd=,所以s阴影=8s△oad=12-4.
14.答案 2或4或6
解析图1中，∠abc=60°,bc=6,则ab=3,ac=3,又∠abp=30°,则ap=,所以cp=2或cp=4;图2中，∠acb=60°,∠abp=30°,∴cbp是等边三角形，∴cp=cb=6.
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