2024年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
理科数学答案解析。
第ⅰ卷。一、选择题。
1.【答案】d
解析】二项式展开式的通项公式为，令，则，的系数为．
提示】由题设，二项式，根据二项式定理知，项是展开式的第三项，由此得展开式中的系数是，计算出答案即可得出正确选项。
考点】二项式定理．
2.【答案】b
解析】提示】由题意，可先对分子中的完全平方式展开，整理后即可求出代数式的值，选出正确选项。
考点】复数。
3.【答案】a
解析】分段函数在处不是无限靠近同一个值，故不存在极限．
提示】对每一段分别求出其极限值，通过结论即可得到答案。
考点】分段函数，对数函数，函数的定义域．
4.【答案】b
解析】正方形的边长也为1
提示】用余弦定理在三角形中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦。
考点】余弦定理，同角三角函数．
5.【答案】d
解析】函数的图像可以看成把函数的图像向下平移个单位得到的．当时，函数在上增函数，且图像过故排除a，b，当时，函数在上减函数，且图像过点，故排除c，故选d．
提示】讨论与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可。
考点】函数图像。
6.【答案】c
解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以a错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故b错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故d错；故选项c正确．
提示】利用直线与平面所成的角的定义，可排除a；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除b；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断c正确；利用面面垂直的性质可排除d．
考点】真假命题的判定，平行与垂直关系．
7.【答案】d
解析】若使成立，则与方向相同且模长相等，选项中只有能保证，故选d．
提示】利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件。
考点】平面向量的基本概念，充分必要条件．
8.【答案】b
解析】设抛物线方程为，则焦点坐标为，准线方程为。
在抛物线上，到焦点的距离等于到准线的距离．
且。解得：，
点。提示】关键点到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点的坐标，由此可求。
考点】抛物线，点与点的距离公式．
9.【答案】c
解析】设公司每天生产甲种产品桶，乙种产品桶，公司共可获得利润为元/天，则由已知，得。
且画可行域如图所示，第9题图。
目标函数可变形为这是随变化的一组平行直线。
解方程组，即。
提示】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可。
考点】二元线性规划的实际应用．
10.【答案】a
解析】以o为原点，分别以、和成角所在直线为、、轴，则，
提示】由题意求出的距离，然后求出，即可求解、两点间的球面距离。
考点】空间向量。
11.【答案】b
解析】方程变形得，若表示抛物线，则。
所以，分，，1，2，3五种情况：
1）若，（2）若，
以上两种情况下有9条重复，故共有条；同理当，或2时，共有23条；当时，共有16条；综上，共有种。
提示】方程变形得，若表示抛物线，则，，所以分，，1，2，3五种情况，利用列举法可解。
考点】排列组合及其应用．
12.【答案】d
解析】由又数列是公差为的等差数列，且，又∴
故。提示】由，又是公差为的等差数列，可求得，由题意可求得，从而可求得答案。
考点】等差数列，余弦函数．
第ⅱ卷。二、填空题。
13.【答案】
解析】∵；提示】由题意全集，集合，，可先求出两集合，的补集，再由并集的运算求出。
考点】集合。
14.【答案】
解析】以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系．设正方体边长为2，则，，，
故， 所以，，故，所以夹角为。
提示】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线与所成的角。
考点】线面垂直的判定，空间向量的运算．
15.【答案】3
解析】设椭圆的右焦点为e，如图：
第15题图。
由椭圆定义得：
的周长； 当过点时取等号；即直线过椭圆的右焦点时的周长最大；此时的高为：，此时；把带入得，所以：的面积等于：
提示】先画出图像，结合图像得到的周长最大时对应的直线所在位置。即可求出结论。
考点】椭圆的定义．
16.【答案】①③
解析】若，根据。
当时，，同理，故①对．
对于②③④可以采用特殊值列举法：
当时，，，此时②③④均对。
当时，，，此时②③④均对。
当时，，，此时③④均对。
综上，真命题有①③④
提示】按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假，①列举即可；②需举反例；③可用数学归纳法加以证明；④可由归纳推理判断其正误。
考点】数的新定义，数列递推关系．
三、解答题。
17.【答案】（1）
2）随机变量的概率分布列为：
随机变量的数学期望为：
解析】（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件c，那么。
解得 (步骤1)
2）由题意，
步骤2）所以，随机变量的概率分布列为：
故随机变量的数学期望为：（步骤3）．
提示】求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求的值，的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望。
考点】互斥事件，相互独立事件，对立事件的概率，独立重复试验，数学期望，分布列．
18.【答案】（ⅰ函数。
解析】（ⅰ由已知可得：
步骤1）又由于正三角形的高为，则。
所以，函数。
所以，函数（步骤2）
ⅱ）因为，由（ⅰ）有。
步骤3）由，得。
所以，即（步骤4）
故。步骤5）
提示】将化简为，利用正弦函数的周期公式与性质可求的值。
及函数的值域，由，知，由，可求得。
利用两角和的正弦公式即可求得。
考点】三角函数的周期性，值域，二倍角公式，两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系．
19.【答案】（ⅰ
解析】（ⅰ设的中点为，连接、设的中点为连接．由已知，为直线pc与平面所成的角。
因为，所以．（步骤1）
因为，所以为等边三角形，（步骤2）
不妨设，则，，
所以，．（步骤3）
在中，．故直线与平面所成的角的大小为（步骤4）
ⅱ）过作于，连接．
由已知可得，．
根据三垂线定理可知，所以，为二面角的平面角．（步骤5）
由（1）知，
在中， 故二面角的大小为（步骤6）
提示】设的中点为，连接、设的中点为连接．由已知，为直线pc与平面所成的角，不妨设，则，，.在中求解，以为原点，建立空间直角坐标系，利用平面的一个法向量与面的一个法向量求解。
考点】线面角，三垂线定理，二面角的概念。
20.【答案】（ⅰ或，或，
ⅱ）时，取得最大值，且的最大值为。
解析】取，得①（步骤1）
取，得②（步骤2）
又②①，得③（步骤3）
ⅰ）若，由①知，若易知④（步骤4）
由①④得：），或，或，（步骤5）
ⅱ）当时，由（ⅰ）知，，，
当时，有，
所以，（步骤6）
所以（步骤7）
令，则。所以，数列是以为公差，且单调递减的等差数列．（步骤8）
则（步骤9）
当时， 所以，时，取得最大值，且的最大值为。
步骤10）提示】由题意，时，由已知可得，，分类讨论：由，及，分别可求，，由，令，可知。
考点】数列的概念，等差数列的通项和单调性，对数的化简与求值．
21.【答案】（ⅰ
解析】（ⅰ设的坐标为，显然有，．
当时，点的坐标为。
当时；，由，(步骤1)
有，即（步骤2）
化简得：3x2y23=0，而又经过（2，±3）
综上可知，轨迹的方程为（步骤3）
ⅱ)由方程消去，可得．（*步骤4）
由题意，方程（*）有两根且均在内，设。
所以。解得，，且（步骤5）
设q、r的坐标分别为，由有。
步骤6）所以（步骤7）
由，且，有。
且．所以的取值范围是（步骤8）
考点】轨迹方程，双曲线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系．
22.【答案】（ⅰ
解析】（ⅰ由已知得，交点a的坐标为，对求导得（步骤1）
则抛物线在点a处的切线方程为（步骤2）
即，则（步骤3）
ⅱ)由（1）知则成立的充要条件是（步骤4）
即知，于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到（步骤5）
当， 步骤6）
当，1，2时，显然（步骤7）
故当时，对所有自然数都成立。
所以满足条件的a的最小值是．（步骤8）
ⅲ）由（1）知，则，（步骤9）
下面证明：
首先证明：当时，（步骤10）
设函数， 步骤11）
当时，；当时，（步骤12）
故在区间上的最小值。
所以，当时，，即得（步骤13）
由知，因此从而。
步骤14）提示】根据抛物线与轴正半轴相交于点，可得，进一步可求抛物线在点处的切线方程，从而可得，由（ⅰ）知，则成立的充要条件是，即知，对所有成立，当，时，，当，1，2时，，由此可得的最小值，由（ⅰ）知，证明当时，，即可证明：
考点】导数的几何意义，二项式定理，利用导数求函数的最值，解含参的一元二次不等式．
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