2024年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工农医类）评。分。
细。则。
四川省高考数学评卷指导委员会。
2024年6月10日。
二、填空题（每题4分，共16分）
14) （或，实施时这个没有给分）
16) ①错选、漏选、多选，均不给分；不加圈也可）
理科(17) （本小题满分12分）
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
i）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
ii）求中奖人数的分布列及数学期望．
步骤分累计分。
解：(ⅰ设甲、乙、丙中奖的事件分别为a、b、c
2分 2分。
2分 4分。
2分 6分。
答：甲中奖且乙、丙同学都没有中奖的概率是。
ⅱ)解法一。
中奖人数可能的取值为0,1,2,3,其分布列为。
4 分 10分。
2分 12分。
解法二。因为中奖人数所以
分布列表如下：
4分 10分。
2 分 12分。
(注： 在解法二中如果没有分布列表，但学生给出了正确的二项分布表达式，仅扣1分)
理科（18）（本小题满分12分）
已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是对角线的中点．
ⅰ）求证：为和的公垂线；
ⅱ）求二面角的大小；
iii）求三棱锥的体积．
解法一步骤分累计分。
ⅰ）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
1分 1分。
故，由，得2分 3分。
又因为与异面直线和都相交。
故为和的公垂线1分 4分。
ⅱ）由， 得，设是平面。
的一个法向量，则，即，取，
而为平面的一个法向量3分 7分。
则1分 8分。
由图可知，二面角的平面角是锐角，故所求二面角的大小为1分 9分。
iii)设为平面的一个法向量，则，取，又，故到平面的距离1分 10分。
而，边上的高，故1分 11分。
故1分 12分。
解法二 ⅰ）连接，取的中点，连接。
因为点是棱的中点，点是的中点，所以∥∥，且，所以∥，且。
由，得2分 2分。
因为，所以平面。
所以所以1分 3分。
又因为与异面直线和都相交。
故为和的公垂线1分 4分。
ⅱ）取的中点，连接，则平面。
过点作于点，连接。
则由三垂线定理得，故为二面角的平面角2分 6分。
设，则。在中2分 8分。
故二面角的大小为1分 9分。
iii),且和都在平面内， 1分 10分。
点o到平面的距离1分 11分。
1分 12分。
理科（19）（本小题满分12分）
i）①证明两角和的余弦公式：
由推导两角和的正弦公式：．
ii）已知的面积，，且，求．
步骤分累计分。
ⅰ)证法1：①如图，在直角坐标系内作单位圆o，并作出角，与，使角的始边为，交⊙o于点，终边交⊙o于点；角的始边为，终边交⊙o于点，角的始边为，终边交⊙o于点，则：
2分 2分。
由及两点间的距离公式，得，展开整理得，
2分 4分。
证法2 ：证明4：如图，在xoy直角坐标系中，任意角），（任意角），；则：
2分 2分。
现选为轴建立新的坐标系，则。
则 （2）由（1）（2）得。
由于是任意角，将换为得：
2分 4分。
证法3： 设2分 2分。
则。2分 4分。
证法4 ：如图，设均为锐角时，不妨设⊥，⊥ob=1，则， 2分 2分。
在和中用余弦定理得：
整理得。当设均为任意角时，用诱导公式转化为锐角证明2分 4分。
证法5： 在△abc中，设，则由余弦定理得：
故．同理有2分 2分。
当均为任意角时，用诱导公式转化为锐角再证明2分 4分。
说明：没有说明的任意性，扣1分．
由①易得，
1分 5分。
1分 6分(ⅱ)解法一：由题意，设△abc的角b,c的对边分别为b,c,
.2分 8分。
又1分 9分。
由题意1分 10分。
2分 12分。
解法二。建立如图所示所在的坐标系，cd为ab边上的高，则有a点坐标为(0,0)，设b点坐标为(a,0)，c点坐标为(b,c)，d点坐标为(b,0) (a,b,c>0)
则有， 因为。
有b=3c2分 8分。
进而1分 9分。
由题意1分 10分。
2分 12分。
解法三：建立如图所示所在的坐标系，cd为ab边上的高，则有a点坐标为(0,0)，设b点坐标为(a,0)，c点坐标为(b,c)，d点坐标为(b,0) (a,b,c>0)
则有， 因为。
有b=3c2分 8分。
又，得， 解得。
所以2分 10分。
由余弦定理2分 12分。
注：，，理科（20）（本小题满分12分）
已知定点，，定直线，不在x轴上的动点与点的距离是它到定直线的距离的2倍．设点p的轨迹为e，过点f的直线交e于b、c两点，直线ab、ac分别交l于点m、n．
ⅰ）求e的方程；
ⅱ）试判断以线段mn为直径的圆是否过点f，并说明理由．
步骤分累计分。
解法一：（ⅰ设，则。
2分 2分。
化简得2分 4分。
没有注明y0不扣分）
ⅱ）①当直线bc与x轴不垂直时，设bc的方程为，1分 5分。
与双曲线方程联立消去y得。
1分 6分。
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