厦门大学网络教育2010-2011学年第一学期。
线性代数》模拟试卷（ b ）卷。
学习中心年级专业。
学号姓名成绩。
一、选择题（每小题3分，共18分）
ab．；c．； d．。
2．中的（ ）时，。
ab．1c．0d．3 。
3．向量，，线性无关，而，，线性相关，则（ ）
a．必可由，，线性表出； b．必不可由，，线性表出；
c．必可由，，线性表出； d．必不可由，，线性表出。
4．设，是非齐次线性方程组两个不同的解，，是对应齐次线性方程组的基础解系，，是任意常数。则非齐次线性方程组的通解是（ ）
a．； b．；
c．；d．。
5．下列命题错误的是（ ）
a．相似矩阵有相同的特征多项式；
b．齐次线性方程组（是矩阵），且，则其基础解系所含的向量个数等于；
c．个维向量必线性相关；
d．矩阵是阶正交矩阵的充分必要条件是。
6．下列命题正确的是（ ）
a．若，，则也是对称阵。
b．若，则或；
c．若矩阵的秩是，并且存在阶子式，则其所有的阶子式可能全为0；
d．设，为矩阵的属于特征值的特征向量，则也是矩阵的属于特征值的特征向量。
二、填空题(每小题3分，共18分)
7．设矩阵，，其中，，，均为4维列向量，且已知行列式，，则行列式 。
8．若，当___时，。
9．若2阶方阵的行列式为，迹为，则与对角阵相似。
10．已知3阶矩阵的特征值为，0，，则矩阵（为3阶单位矩阵）的特征值为。
11．设，则。
12．若3阶方阵及，都不可逆，则。
三、计算题(共64分)
13．行列式计算（10分）
求行列式，其中是阶行列式，对角线上的元素都是，其余元素都是。
14．求解矩阵方程（12分）
已知矩阵的伴随矩阵且，求。
15．线性方程组的计算（12分）
设有线性方程组，问取何值时，此方程有非零解，并求出其通解。
16．求过渡矩阵与坐标（10分）
已知在中有两组基，，和，其中，，。
1）求由基，，到基的过渡矩阵（6分）；
2）若向量在，，下的坐标是，求在基下的坐标（4分）。
17．用正交线性替换化下列二次型为标准型，并求出所作的正交线性变换（20分）
说明：（1）先将二次型表示成矩阵形式（2分）；（2）求出其二次型的矩阵的所有特征值（5分）；（3）求出对应于特征值的特征向量（6分）；（4）将这些特征向量正交单位化（3分）；（5）最后写出所作的正交变换和标准型（4分）。请按上述五步顺利给出解题过程。
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．d。解：
2．a。解：由，知，从而或，显然当时，知。
3．c。解：a．错，反例：，，显然，，线性相关，但不能由，，线性表出。
b．错，反例：取，，，显然。
c．由，，线性相关知，，，线性相关，又，，线性无关。则必能由，，线性表出，且表示式是唯一的。
d．错，反例：取，，，显然。
4．b。解：根据非齐次线性方程组解得结构定理知，的通解应为，其中，是常数，，是对应齐次线性方程组的基础解系，为的解。
显然，所以是的解，而与都是的解并且线性无关，于是构成基础解系，从而b是非齐次线性方程组的通解。
5．b。解：a．相似矩阵有相同的特征多项式（§5.2性质5）。
b．错误。齐次线性方程组（是矩阵），且，则其基础解系中所含向量个数为，即基础解系中所含向量的个数等于方程中的未知数个数减去系数矩阵的秩。
c．个维向量必线性相关（定理2.5）。
d．矩阵是阶正交矩阵的充分必要条件是，这是正交矩阵的定义。
6．a。解：a．若，，则，则也是对称矩阵。
b．错误，反例：，有，，而。
c．错，矩阵的秩是，若其所有的阶子式全为0，则的任何阶子式都为0，这与矩阵的秩为矛盾（注意矩阵的秩是，说明其存在一个阶非零子式）。
d．错。为矩阵的属于特征值的特征向量，则一定是非零向量，故只有当时，才是矩阵的属于特征值的特征向量。
二、填空题(每小题3分，共18分)
7．解：8．解：，又，故。
9．设，为2阶方阵的特征值，则，，所以矩阵的特征方程为，令，即，故矩阵有两个互不相同的特征值，。于是，矩阵相似于对角阵或。
10．解：由，可知是的特征值，于是由的特征值，0，1可知的特征值为，，3。
11．解：由，则，又，知。
12．解：因为3阶方阵及，都不可逆，则有。
于是。因此矩阵的特征值为0，1，，所以。
三、计算题(共64分)
13．解：将各列都加到第一列得。
再将第一行乘以（）分别加到其余各行，得。
14．解：由，可得，在两边左乘得，则。由，又计算得，所以，即，则。又，于是。
15．解：先求系数行列式。
当时，即或时，方程组有非零解。
1）当时，由此便得通解。
其基础解系为，，，于是所求方程组的通解为。
2）当时，故方程组的通解方程组为。
其基础解系为，所求方程组的通解为（）
16．解：（1）由过渡矩阵的定义知，从基，，到基的过渡矩阵为。
这里，。因为。所以。
知在基下的坐标为。
17．解：（1）二次型，其中。
2）的特征多项式为。
令，得到矩阵的特征值为，。
3）下面求特征向量：当时，解方程组，可得线性方程组的基础解系为。
当时，解方程组，可得线性方程组的基础解系为，。
容易看出，，两两正交。
4）下面将，，单位正交化，。
5）取，则。令，其中，则二次型的标准形为：
其中所作的正交线性变换为，即。
线性代数 B卷
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08线性代数B卷
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