【黄冈中考】备战2024年中考数学——等腰三角形的押轴题解析汇编二。
等腰三角形。
一、选择题。
（2011四川内江，11，3分）如图，在等边三角形abc中，d为bc边上一点，e为ac边上一点，且∠ade=60°，bd=4，ce=，则△abc的面积是（ ）
a．8 b．15 c．9 d．12
思路分析】∠adc= ∠ade +∠edc =∠b +∠bad，∵∠ade=∠b=60°，∴edc =∠bad．又∵∠c=∠b=60°，∴abd∽△dec,∴ec:bd=dc:ab=1:
3,∴ab=bc=3dc,∴bd=2dc，∴dc=2，∴bc=6，∴△abc的面积是9．
答案】c．点评】图形中不存在全等形、不存在直角，可通过相似列比例式求解．
10．（2024年四川省南充市，10，3分）如图，⊿abc和⊿cde均为等腰直角三角形，点b,c,d在一条直线上，点m是ae的中点，下列结论：①tan∠aec=;②s⊿abc+s⊿cde≧s⊿ace ;③bm⊥dm;④bm=dm.正确结论的个数是（ ）
a）1个 （b）2个 （c）3个d）4个。
解题思路】此题易得∠ace=90°，∴tan∠aec=∴①成立； 设ac=a,ce=b，则而故， ，即：∴②成立；延长dm交直线ab于n,易证△amn≌△emd，进而得到md=mn,bd=bn,由等腰三角形三线合一，可得③④成立。
答案】d点评】本题是一个综合性题目，有一定难度。
7．（2024年内蒙古呼和浩特，7，3）如果等腰三角形两边长是6cm和3cm,那么它的周长是( )
a.9cmb.12cm c.15cm或12cm d.15cm
解题思路】先利用等腰三角形的性质：两腰相等；再由三角形的任意两边和大于第三边，确定三角形的第三边长，最后求得其周长。
答案】d点评】本题将两个简易的知识点：等腰三角形的两腰相等和三角形的三边关系组合在一起。难度较小。
1. （2011安徽，9，4分）如图，四边形abcd中，∠bad=∠adc=90°，ab=ad=，cd=，点p在四边形abcd上，若p到bd的距离为，则点p的个数为。
a.1b.2 c.3d.4
解题思路】在四边形abcd中，应关注点a、点c到bd的距离。作ae⊥bd于e，cf⊥bd于f，则可得rt△aed和rt△cfd都为等腰直角三角形，由ad=，cd=，可得ae=2，cf=1，由此可知在ab、ad两条边上各存在一点到bd的距离为，bc、cd两条边上则不存在，应选b.
答案】b.点评】本题以点到直线的距离为问题情境，考查等腰直角三角形的性质，对于符合条件点的确定需要讲究策略。难度中等。
2. （2011贵州毕节，13,3分）如图，已知ab＝ac，∠a＝，ab的中垂线md交ac于点d、交ab于点m。下列结论：①bd是∠abc的平分线；
△bcd是等腰三角形；③△abc∽△bcd；④△amd≌△bcd，正确的有( )个。
a、4 b、3 c、2 d、1
解题思路】由ab＝ac，∠a＝可得∠abc=∠c=,mn是ab的中垂线得ad=bd,a=∠abd =,bdc=,进一步得出①bd是∠abc的平分线；
△bcd是等腰三角形；③△abc∽△bcd；④△amd≌△bcd，故答案a正确，b、c、d答案不正确。
答案】a点评】本题把等腰三角形的性质以及中垂线的性质有机地结合起来，考查学生对几何知识的掌握情况，做题时注意考虑问题的全面性。难度中等。
二、填空题。
8．（2024年河南，8，3）如图，在△abc中，ab＝ac，cd平分∠acb，∠a＝36°，则∠bdc的度数为。
【解题思路】∵ab＝ac，∴∠abc＝∠acb，∵∠a＝36°，所以∠b＝∠acb＝72°，∵cd平分∠acb，∴∠bcd＝∠acd=∠acb＝36°，∴bdc＝36°+36°＝72°．
答案】72点评】本题考查三角形内角和定理及外角和定理与等腰三角形的性质，注意含有36°的等腰三角形实际上是一种特殊的等腰三角形．
15．（2011辽宁大连，15，3分）如图4，等腰直角三角形abc的直角边ab的长为6cm，将△abc绕点a逆时针旋转15°后得到△ab′c′，则图。
中阴影部分面积等于___cm2．
解题思路】等腰三角形绕a逆时针旋转15°，可知∠=30°，=6，可得阴影。
直角三角形的另一条直角边为6tan30°=，所以。
答案】点评】此题用到了旋转的不变性，和三角函数，还需要学生有敏锐的观察力，从图形中抽出特殊的三角形。难度中等。
16、（2011四川乐山，16，3分）如图（9），已知∠aob=，在射线oa、ob上分别取点oa=ob，连结ab，在ba、bb上分别取点a、b，使b b= b a，连结a b…按此规律上去，记∠a b b=，∠
则（1解题思路】：根据题意：oa1=ob1，△a1ob1，△a2b1b2，△a3b2b3……是等腰三角形，已知∠aob=，∴1800-=;以此类推可得：=1800-（900-）…
答案】；。点评】本题是规律**性问题，是中考的热点问题之一，在已知等腰三角形的顶角的情况下，通过计算三角形的外角来探索规律。本题难度中等。
1. （2011贵州安顺，17，4分）已知：如图，o为坐标原点，四边形oabc为矩形，a(10，0)，c(0，4)，点d是oa的中点，点p在bc上运动，当△odp是腰长为5的等腰三角形时，则p点的坐标为。
解题思路】由题意可知点p在bc上运动，所以p点纵坐标是4，横坐标等于cp的长度。op=5时易求出cp=3，所以p（3，4），dp=5时易求出cp=2或8，所以p（2，4）或（8，4）
答案】p（3，4）或（2，4）或（8，4）
点评】本题主要考查等腰三角形的存在性问题，涉及到等腰三角形、矩形、勾股定理等知识，此题的关键在于分情况讨论，同时要注意“△odp是腰长为5的等腰三角形”这一条件。难度中等。
2.（2011福建泉州，12，4分）如图，在△abc中，ab=ac，∠b=40°，则∠a
解题思路】由于ab=ac，可知，由三角形内角和公式可得出。
答案】100°；
点评】考查等腰三角形的性质与三角形的内角定理，利用等腰三角形等角对等边可知，利用三角形内角和公式，求得∠a的值，难度较小。
1．（2011湖南省邵阳市，11，3分）如图（四）所示，在△abc中，ab＝ac，∠b＝50°，则∠a
解题思路】：利用等腰三角形底角相等，以及三角形内角和定理∠a=
答案】： 点评】：本题考察了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理。难度较小。
2. （2024年怀化13，3分）如图6，在△abc中，ab=ac，∠bac的角平分线交bc边于点d，ab=5，bc=6，则ad
解题思路】由等腰三角形的三线合一的性质和知bd=3，且△abd为rt三角形，由勾股定理得出ad=4.
答案】4点评】本题考察了等腰三角形和直角三角形的勾股定理两个性质，出题较好，难度适中。
8．（2011湖北随州，8，3分）如图，△abc的外角∠acd的平分线cp的内角∠abc平分线bp交于点p，若∠bpc=40°，则∠cap
思路分析】根据题意，∠pcd=∠bpc+∠pbc，∠acd=∠bac+∠abc，∵bp平分∠abc，cp平分∠abc的外角∠acd，∴∠abc=2∠pbc，∠acd=2∠pcd，∴∠bac=2∠bpc=2×40°=80°，延长ba至e，过点p作pe⊥be,pf⊥ac,ph⊥cd垂足分别为e,f,h,所以pe=pf=ph，所以ap是∠cap的平分线，又因为∠cap=180°-80°=100°，所以∠cap=180°÷2=50°.
答案】50°
点评】本题考查的是角平分线的性质及判定定理，解答此题的关键是熟知角平分线上的点到角两边的距离相等．
1. （2011安徽芜湖，21，8分）
如图，在梯形abcd中，dc‖ab，ad=bc, bd平分过点d作，过点c作，垂足分别为e、f，连接ef，求证：为等边三角形。
解题思路】利用等腰梯形的性质得∠abc=60°，bd平分∠abc得∠ebc=30°，而，∴∠edf=60°，在证出cb=cd后利用“三线合一”可得点f为bd的中点，这样在rt△bde中可得df=ef，最后可得为等边三角形。
答案】证明：因为dc‖ab，，所以。
又因为平分，所以因为dc‖ab，所以，所以所以因为，所以f为bd中点，又因为，所以由，得，所以为等边三角形。
点评】本题是一道纯粹的平面几何证明题，以梯形为背景，主要考查等腰梯形、直角三角形和平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质，是一道较为综合的说理题，对推理过程的有条理表达也是一个考查要求。难度中等。
2. (2011江苏镇江，22，5分)已知：如图，在△abc中，d为bc上的一点，ad平分∠edc，且∠e＝∠b，de＝dc．
求证：ab＝ac．
解题思路】欲证ab＝ac，需证∠b＝∠c．而∠e＝∠b，因此需证∠e＝∠c．这可通过证三角形全等得出．
答案】证明：∵ad平分∠edc，∴∠ade＝∠adc，又de＝dc，ad＝ad，△ade≌△adc．∴∠e＝∠c．又∠e＝∠b，∴∠b＝∠c．∴ab＝ac．
点评】此题考查全等三角形的证明，等腰三角形的性质等知识，难度较小．
21．（2024年四川省南充市，21，8分）如图，等腰梯形abcd中，ad∥bc, ad=ab=cd=2, ∠c=600, m是bc的中点。
1）求证：⊿mdc是等边三角形；
2）将⊿mdc绕点m旋转，当md(即md′)与ab交于一点e,mc即mc′)同时与ad交于一点f时，点e,f和点a构成⊿aef.试**⊿aef的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿aef周长的最小值。
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