2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学试题答案与解析。
1. 解析，，所以。故选c.
2. 解析仅在上为增函数，排除b；为减函数，排除c；因为为减函数，为增函数，所以为减函数，排除d；和均为增函数，所以为增函数，故选a.
3. 解析曲线（为参数）的普通方程为，该曲线为圆，圆心为曲线的对称中心，其在直线上，故选b.
4. 解析输出。故选c.
5. 解析若，则当时，，为递减数列，所以“” 为递增数列”；若为递增数列，则当时，，，即“为递减数列” “故选d.
6. 解析由得。由图推测直线必过，得，经验证符合题目条件。故选d.
7. 解析三棱锥如图所示。 ,所以且，故选d.
8. 解析设学生人数为，因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况，所以当时，语文成绩至少有两人相同，若此两人数学成绩也相同，与“任意两人成绩不全相同”矛盾；若此两人数学成绩不同，则此两人有一人比另一人成绩好，也不满足条件，因此：，即。
当时，评定结果分别为“优秀，不合格”“合格，合格”“不合格，优秀”，符合题意，故，选b.
9. 解析，故填。
10. 解析，即，所以。因为，，所以。
11. 解析根据题意，可设双曲线：，将代入双曲线的方程得，所以的方程为。渐近线方程为。
评注本题考查双曲线的基本性质；考查学生对双曲线的渐近线的熟悉程度；若不熟悉共渐近线的双曲线系方程，则必须分类讨论求解。
12. 解析根据题意知，即，又，所以，所以当时，的前项和最大。
13. 解析记5件产品为，，，将，相邻视为一个元素，先与，排列，有种方法；再将插入，仅有个空位可选，共有种不同的摆法。
14.解析记的最小正周期为。由题意知，又，且。可作出示意图如图所示（一种情况）：
所以，所以，所以。
15.解析（）在中，因为，所以，所以。
）在中，由正弦定理得。
在中，由余弦定理得。
所以。评注本题考查了正、余弦定理等三角形的相关知识；考查分析推理、运算求解能力。
16.解析（）根据投篮统计数据，在场比赛中，李明投篮命中率的场次有场，分别是主场，主场，主场，客场，客场。所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过的概率是。
）设事件为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过”，事件为“在随机选择的一场客场中，李明的投篮命中率一场超过”，事情为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过，一场不超过”.
则，，独立。根据投篮统计数据，,.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过，一场不超过的概率为。
评注本题考查了数据频率、概率、互斥事件、相互独立事件、期望与数据平均数等概率知识；考查应用意识，利用频率估计概率，运算求解能力。
17.解析（）在正方形中，因为是的中点，所以。又因为平面，所以平面。因为，且平面平面，所以。
）因为底面，所以，.如图建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，即令，则。所以。
设直线与平面所成角为，则。因此直线与平面所成角的大小为。设点的坐标为。
因为点在棱上，所以可设，即。所以，，.因为是平面的法向量，所以，即。
解得，所以点的坐标为。所以。
评注本题考查了空间直线与平面平行，线面角，空间向量等知识；考查空间推理论证能力，推理计算能力；建立恰当坐标系，利用空间向量准确求解是解题的关键。
18.解析（）由得因为在区间上，所以在区间上单调递减。
从而。）当时，“”等价于“”；等价于“”.令，则。
当时，对任意恒成立。
当时，因为对任意，，所以在区间上单调递减，从而对任意恒成立。
当时，存在唯一的使得。
与在区间上的情况如下：
因为在区间上是增函数，所以。进一步，“对任意恒成立”当且仅当，即。
综上所述，当且仅当，对任意恒成立；当且仅当时，对任意恒成立，则的最大值为，的最小值为。
评注本题考查了导数、不等式、函数最值等相关知识；考查推理论证能力，转化与化归的意识，数形结合、运算求解能力；熟练地利用导数工具对函数进行分析时解题的关键。
20.解析（），
当时，.因为，且，所以。
当时，.因为，且，所以。所以无论还是，都成立。
）数对序列：，，的值最小，，，
评注本题考查了集合的表示、不等式、合情推理等知识；考查综合分析，归纳抽象，推理论证能力；熟练运用归纳的方法，通过特例分析理解抽象概念是解题的关键。
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