数学有数。
０１２年高考湖北理科数学第２１题的研究。田彦武。
一。题目及标准解答。
设ａ是单位圆 ：＋上的任意一点，ｌ是过点ａ
厂。与轴垂直的直线，ｄ是直线ｚ与轴的交点，点在。
直线ｚ上，且满足且ｍ≠１当点。
在圆上运动时．记点ｍ的轨迹为曲线ｃ．，求曲线ｃ的方程，判断曲线ｃ为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
图。ⅱ）过原点且斜率ｋ为的直线交曲线ｃ于ｐ，ｑ两点。其中ｐ在第一象限，它在ｙ轴上的射影为点／
一。．直线ｑｎ交曲线ｃ于另一点日．是否存在ｍ，使得９、—
一／／对任意的ｋ＞０都有ｐｑ上册？若存在，求ｍ的值；二／
若不存在．请说明理由．
图２（０图３（埘＞１）
ｉ）解析：如图１，设则由ｉｄｍ
且ｍ≠１孺所以。
正解：＋８是偶函数即ｙ－－
时，固然有（ｘ＋旦）≥９对任意 ，ｙ恒成立，但。
关于直线ｘ＝８对称，又，（）在（８，上为减函数，故。
在（一 ，８上为增函数，检验知，选ｄ．
当且仅当 ｉｙ且 ＝旦，即ａ＝ｌ且。
时才成立，显然。
同学们学习数学概念，常由于理解不正确或不全面，会缩小或扩大了概念的内涵或外延，导致错误．同。
＝ｌ与口＝８１两者相矛盾，故。
学们要对这些错误进行分析，突出概念的本质特征，４、和中的等号都不能成立．在解题中要。
准确地掌握数学概念．同学们要重视自己己有或错误的经验对各种现象的理解，要透过“错解”思考自己。
正确地运用题设，合理地将已知条件实施等价转换，从这些想法的由来，体验发现“错解”的过程，反思错而达到化难为易，化繁为简，化未知为已知．
误的原因．然后再寻找解决问题的办法．
正解：由口＋ ＋堕≥１＋
四、函数本质认识不透。
例４．已知不等式（）（对任意正实。
由口≥４，当且仅当。
＝４且。时且（１＋
数 ，ｙ恒成立，则正实数口的最小值为——．
——一。错解且和ｏ≥４中的等号都成立，故正实数０的最。
小值为４．要使对任意正。
实践表明。公开地展示错解，彻底地暴露错因，让错误作为反面教员，同学们通过共同**分析，可实数ｘ．ｙ恒成立，只要４、／即口≥ｔｇ故正实以提高学习数学的兴趣，活跃数学思维，警惕易犯的错误。加深知识的理解记忆均有较好的学习效果．要懂数０的最小值为ｂ１．
得利用自己的错误来学会反思，只有自己意识到错误错解剖析：以上解法忽视等号成立的条件而导致之后．自己才能从根本上改正错误，也才能在以后处错误，这种错误比较隐蔽不易察觉，本题中，当ｎ＝
理类似的问题时否定错误的解法，从而提高解题能力．
作者单位：东莞济川中学）
责任编校。徐国坚。
攀蒋数。因为ａ点在单位圆上运动，所以 ０２
故存在ｍ－－芝一，使得在其对应的椭圆 ＋ 上。对任意的ｋ＞ｏ都有即ｊ＿朋．
二、试题评析与不同解法及拓展。
将①式代人②式即得所求曲线ｃ的方程为ｘ２＋
（ｍ＞且ｍ≠１因为所以：
当ｏ＜ｍ时，曲线ｃ是焦点在轴上的椭圆，本题主要考查圆锥曲线中轨迹的求法、直线与圆。
两焦点坐标分别为（一、／ｔ二一，０）二一，０）
当ｍ＞ｌ时，曲线ｃ是焦点在ｙ轴上的椭圆，两。
焦点坐标分别为（０，二ｔ＇）
ｉ１）解法１：如图２．３设尸 ｂｋ日 ２’锥曲线的位置关系；考查方程的思想、转化与化归思。
想、分类讨论思想、设而不求和整体思想及相关点法等；考查考生综合运用数学知识和方法解决数学问题的能力、几何与代数语言的转化能力及计算能力等．是一道综合性于一体的中高档题．
第（ｉ）小题的点通过动点ａ与已知圆的关系，把点ａ的坐标用点ｍ的坐标表示．然后代人已知圆。
则ｑ（－一直线ｑｎ的方程为。
将其代入椭圆ｃ的方程并整理可得：ｍ＋４她。
依题意可知此方程的两根为一 ，定理可得：
慨一。于是由韦达。
的方程得到解决，其本质是求轨迹方程的相关点法，即当生成轨迹的动点随着曲线／ ，上的动点ａ的变动而变动时，且动点ａ的坐标‰，可用动点。
即 ＝ 因为点ｈ在直线ｑｎ上，所以 ｙ２一 ＝２丝。
的坐标 ，表示为｛轧＝ｇ’则把方程组。
动点的曲线方程 ：，即得动点的轨迹方程．
从映射（变换）的角度看，就是在映射，．，一 ，于是 ＝（蔚＝ ：一。
卜，ｙ）且ｍ≠１下，知原像ｘ＝１求像（ｘ２且ｍ≠１的问题，归根结底是基本的换元、消元、
而尸ｑ上朋等价于蔚＿－４
列解方程（组）问题，因而，上述解法就是求解相关点轨，即。
迹问题的通法．是几何问题代数化的基本数学思想的体现－另外本小题还可有如下解法：
另解１：诜 ｍ的坐标为０，ｙ点ａ的坐标为 ，）又ｍ＞ｏ得ｍ＝、
故存在ｍ＝、使得在其对应的椭圆 ＋车＝１
上，对任意的ｋ＞ｏ都有ｐ９ｊ
由柏２ａ２得。
将１＇，代入，得。
ｘａ：解法２：如图设ｐ ，日，则ｑ（，一因为ｐ，两点在椭圆ｃ上，＋ 即 ２十一＝１为所求．下略．
所以｛ｍ 两式相减可得。
一。另解２：设点的坐标为 ，ｙ点ａ的坐标为 ，ｃ
ｌ营。依题意，由点ｐ在第一象限可知，点也在第象限，且ｐ，ｈ不重合，故一２）。坝２）≠于是由。
为参数），又｛１．一则——，式可得出 ：一ｍ２．
消去ｃｏｓ和ｓｉｎ得 ｚ＋下略。
另解３：设点的坐标为 ，ｙ点ａ的坐标为。
又ｑ，ｎ三点共线，所以ｋｑｎ即。
ａ），根据已知条件得点ｄ的坐标ｘ，０由且ｍ≠１有＝ｍ蔚，则 ，０一 ，ｙ
于是由④式可得ｋ御ｋ ＝
—’，一，）］解得｛：ｖ因为 ＋＝所以 ＋（
）２＝即 ２＋为所求．下略．
ｌ＝丝）（ｌ挫！一一。
而ｐｑ￣等价于ｋ刚一１，即一 －＿一１，又ｍ＞ｏ得ｍ＝、
平面向量知识始终是解决圆锥曲线问题的重要工具，特别是涉及到距离（或距离的比）、角度、位置关系（平行、垂直、共线等）等方面尤为方便．
第（ⅱ）小题可拓展如下：
糍ｐ刚≯彘凇 ７＊自搬。
数攀蒋数。过原点且斜率为的直线交曲线ｃ：臌 ＋，旷＝１（于ｐ，ｑ两点，其中ｋ在第一象限，它在ｙ轴上。
运动时。线段肋的中点的轨迹是什么？为什么？
分析：ｐ点在圆。
４上运动，点ｐ的运动弓。
的射影为点ｎ，直线ｑｎ交曲线ｃ于另一点ｈ．是否存在非零实数ｍ，ｎ使得对任意的ｋ＞ｏ都有ｐｑ上册？若。
存在，求，ｎ，满足的关系；若不存在，请说明理由．解答如下：
解析：ｖｋ设日 ２，则ｑ（－
起点肘运动．我们可以由ｍ为线段ｐｄ的中点得到点ｍ与点ｐ坐标之间的关系式，并由点ｐ的坐标满足圆的方程得到点的坐标所满足的方程．
教材在解完后，马上提出。
直线ｑｎ的方程为将其代入曲线的方程并整理可得：（ｍ
一１）＝思考：从例２中你能发现椭圆。
与圆之间的关系吗？”，意图让考。
图２．２依题意可知此方程的两根为 、。于是由韦达定理可得：
叫帆。一。生知道．圆按照某一个方向作伸缩变换可以得到椭。
即 。ｍ一。
圆．但由于考生缺乏必要的变化发展的引导过程，考。
生一般并不能立即体会这种关系．教师可以在“思考”栏目里面再加入以下问题：
又因为点日在直线ｑｎ上，所以ｙ２一ｋｘ
１）若将条件“线段ｐｄ的中点ｍ”改为“线段肋的三等分点 ”，则点的轨迹又是什么？
２）若将条件“线段ｐｄ的中点 ”改为“点。
生一。于是。纽 ｊ
＿２蔚午，…１
**段ｄｐ的延长线上，且１上，厂ｉ＋＝则点ｍ的ｚ
轨迹又是什么？（课本第５０页ｂ组第ｌ题）
这样通过点的运动方程．考生才能真正发现椭圆与圆之间的关系，即将圆纵向往里压缩，得到焦。
而尸ｑ上册等价于蔚＝４ｋ
０，即。以：
＝２ｎ由已知曲线方程知ｍ，１同为正，故存在正数。
点在轴上的椭圆；将圆纵向往外压缩，得到焦点在ｙ轴上的椭圆．这样的解决设计．也同时体现了矛盾统。
一，ｎ满足关系ｍ＝２使得对任意的ｋ＞ｏ都有 ７上朋．此时也易知椭圆的焦点在ｙ轴上．
三、试题的渊源。
．１源于高考题。
和对立的辨证观点．
数学发展观认为：数学如同其他事物一样，是不断在运动、变化中发展的．又在不断发展中展现新的。
０１１年高考陕西卷数学理科第１７题（以下简称原题）如下：
活力与生命．考生在学习一个数学新知识时，若能基于数学发展观：从问题的实质人手，对问题的条件、结论及解题方法等方面进行全方位**。在相对完整。
如图，设ｐ是圆ｘ％ｙ上的动点，点ｄ是ｐ在轴上投影，ｍ为ｐｄ上一。
的运动发展的过程中体会到新知识的应用价值，那么。
这样的学习不但是深刻有效的，而且是有趣的．
点，且。１）当ｐ在圆上运动时，求点ｍ的轨迹ｃ的方程：
显然本高考题将教材例题改编而成。选材源于教。
材而又高于教材，这是高考命题一贯的原则，也是高考命题的源泉．因此，同学们在平时学习的过程中要。
注重知识过程的产生和形成过程，关注数学定理、公。
式的推导过程、运用及例题的求解过程，从中构建知识体系与知识结构；掌握题目的通性、通法，加强对数学思想方法的渗透、提炼与运用；通过对数学概念和结论产生的过程，建立严谨的科学态度和不怕困难。
的科学精神，从而培养我们自己发现、提出、解决数。
学问题的能力，发展我们的创新意识和实践能力．
作者单位：深圳市南头中学）
责任编校。徐国坚。
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