2008年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学 》试卷。
评分标准。一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）
3 . 已知， 则= 4
4. 已知为二维列向量， 矩阵a = b = 若行列式， 则。
5．若矩阵a =,e为二阶单位阵，矩阵b满足， 则b
6. 将3个乒乓球随机地放入4个杯子中去， 杯子中乒乓球的最大数为2的概率为。
二．选择题。 （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）
1．函数在区间 [ 1 ， a ] 上的平均值是 1 ， 则 ad
a） -1b） 0c） 1d） 2
2. 点是二元函数的c
a） 极小值点b）极大值点 ；
c） 驻点，但一定不是极值点d）驻点，但无法确定是否是极值点。
3．函数（ d是函数的一个原函数 .
ab） ；c）； d）.
4. 设是四元非齐次线性方程组的三个解向量，且秩 r(a) =3 , c 表示任意常数， 则线性方程组的。
通解 x = b
a) (b)
cd) 5. 若的概率密度函数为。
则系数( d )
a) 1bcd)
三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分，本题共7个小题，每小题9分，共63分）
1. 计算。
解： …2分。
7分。9分。
2． 广义积分是否收敛？如收敛，计算其值；如不收敛，说明理由。
解： 收敛1 分。
3 分。6 分。
7 分。8 分。
9 分。3. 已知一元函数可导，二元函数可微；，，设，
求。解：……3 分。
….…7 分。
8 分。………9 分。
4．（1）利用正项级数判敛方法说明级数是收敛的；（ 2 分 ）
2）求出上面收敛级数的和。（ 7 分 ）.
11 分。收敛2 分。
2) 考虑幂级数它的收敛区间是1 分。
和函数，….2 分。
其中。 …3 分。
；….4 分。
5 分。…. 6 分。
7 分。5．设， a =,e 为三阶单位阵 , 求。
解2分。 ……4分。
6分。9分。
6. .已知在10个产品中有2个次品， 现在其中任取两次，每次任取一只， 作不放回抽样，求下列事件的概率 : 1) 两只都是次品事件 ; 2) 第二次取出的是次品事件。
解： 设为事件“第次取出的是**”，则。
12分。4分。
7分。9分。
7. 设是两个相互独立的随机变量，在（0，1）上服从均匀分布，的概率密度为 ;
求：（1）和的联合概率密度；
2）关于的二次方程有实根的概率 (已知。
解： (11分。
由于和相互独立， 因此和的联合概率密度为。
3分。2) 方程有实根的充要条件为，
即4分。所以方程有实根的概率为。
6分。9分。
四．应用题： （本题共3个小题，每小题10分，共30分）
1． 一帐篷，下部为圆柱形，上部覆以圆锥形的蓬顶（如图所示）。设帐篷的容积规定必须是立方米，试设计出篷布用料最小的方案及求出此时的蓬布用料数。
扇形面积计算公式是，其中是扇形半径， 是扇形弧长）
设圆柱高为 h , 圆锥高为 h , 圆柱底半径为 r ;
帐篷的容积………
约束条件 ;…1 分。
篷布用料…….2 分。
令。4 分。
求的驻点：…….5 分。
由（1）得 ；
由（3）得5）
由（2）得
8 分。代入约束条件：
米 ； 米 ；米 ;
因为驻点唯一，且由实际问题意义知必有最小值， 故。
篷布用料最小的方案是米 ； 米 ；米 ；…9 分。
平方米 ……10 分。
2. 设矩阵 a = 其行列式， 又 a 的伴随矩阵有一个特征值， 属于的一个特征向量为求和的值。
解1分。3分。
5分。6分。
1)+(3)得=1 , 代入(2) ,3) 得8分。
所以10分。
3. 一工厂生产的某种设备的寿命( 以年计 ) 服从指数分布， 概率密度为。
工厂规定， **的设备若在一年之内损坏可予以调换。 若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。 试求厂方**一台设备净赢利的数学期望。
解： **的设备在一年之内调换的概率为 :
不需调换的概率为 :
4分。记为工厂**一台设备的净赢利， 则。
7分。10分。
五．证明题： （本题共2个小题，第一小题6分，第二小题7分，共13分）
1． 设函数在上连续 ，；在内可导，且导数值处处大于零 。试证：在曲线上存在某一种点，该种点在 x 轴上的投影将会平分 x 轴上的线段 ab ； 其中 a 是曲线上过 p 点的切线与 x 轴的交点，b 是 x 轴上的点 ( 1 , 0 )
证：过 p 点的切线方程是1 分。
它与 x 轴的交点横坐标是2 分。
根据题意3 分。
且需满足：， 即
………4 分。
现令5 分。
则有， 根据罗尔定理，必至少存在一点，使得，即。
. 证毕6 分。
2. 设 a 为×实矩阵，为阶单位阵， 矩阵， 试证明： 当时，矩阵为正定矩阵。
证：, 故是阶实对称阵2分。
又对任意实维列向量，4分。
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