强化训练三。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．已知集合。
2．“”是“”的条件．（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）
3．复数，，则复数在复平面内对应的点位于第象限．
4．某人5 次上班所花的时间（单位：分钟）分别为，若这组数据的平均数为10，则其方差为。
5．从内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为。
6．若将函数的图象向左移个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数的最小值为。
7．设为互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题：
若； 其中正确命题的序号为。
8．函数在处的切线方程为。
9．执行右边的程序框图，若，则输出的s
10．已知函数，且关于的方程。
有且仅有两个实根，则实数的取值范围是。
11．已知二次函数的值域为，则的最小值。
为。12．已知椭圆与抛物线有相同的焦点，是椭圆与抛物线的的交点，若经过焦点，则椭圆的离心率为。
13．在中，，点是内心，且，则。
14．已知等差数列的前n项和为，若，则下列四个命题中真命题的序号为。
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题14分）
如图，在直三棱柱中，，点在边上，。
求证：平面；
如果点是的中点，求证：平面。
16、（本小题14分）
已知函数的图像如图所示，直线是其两条对称轴。
求函数的解析式并写出函数的单调增区间；
若，且，求的值。
17、（本小题）已知某种稀有矿石的价值（单位：元）与其重量（单位：克）的平方成正比，且克该种矿石的价值为元。
写出（单位：元）关于（单位：克）的函数关系式；
若把一块该种矿石切割成重量比为的两块矿石，求价值损失的百分率；
把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。
注：价值损失的百分率；在切割过程中的重量损耗忽略不计）
18、（本小题16分）
已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点在直线上，直线与抛物线相交于两点，为抛物线上一动点（不同于），直线分别交该抛物线的准线于点。
求抛物线方程；
求证：以为直径的圆经过焦点，且当为抛物线的顶点时，圆与直线相切。
19、（本小题16分）
已知数列满足：（为常数），数列中，。
求；证明：数列为等差数列；
求证：数列中存在三项构成等比数列时，为有理数。
20、（本小题16分）
已知函数，为正常数。
若，且，求函数的单调增区间；
若，且对任意，，都有，求的的取值范围。
高三数学参*** 2010．5
1． 2．充分不必要 3．第一象限 4．2 5．
15、证明：⑴在直三棱柱中，平面，平面。
又，，∴平面。
⑵由（1）得∴，在中，∴为边上的中点，
连结，∵点是的中点，在直三棱柱中，四边形为平行四边形，，又，∴，四边形为平行四边形。……12分，又平面，平面，平面。
16、解：⑴由题意，，∴又，故。
由，解得，又。
由知， 函数的单调增区间为。
解法1：依题意得：，即， ，10分。
14分。解法2：依题意得：，得9分， ∴11分。
由得。+②得，14分。
解法3：由得9分。
两边平方得，，
∴，11分，又，∴，14分。
17、解⑴依题意设，又当时，，∴故4分。
设这块矿石的重量为克，由⑴可知，按重量比为切割后的价值。
为，价值损失为，价值损失的百分率为。……9分。
解法1：若把一块该种矿石按重量比为切割成两块，价值损失的百分率应为。
又，当且仅当时取等号，即重量比为时，价值损失的百分率达到最大。
14分。解法2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为，则价值损失的百分率为。
又，∴，故，等号当且仅当时成立14分。
答：⑴函数关系式；
价值损失的百分率为；
故当重量比为时，价值损失的百分率达到最大。
18、解：⑴依题意，焦点，抛物线方程为。……4分。
⑵由得，6分。
设，则，直线：，令，得，即8分。
同理，直线：，令，得，即，……10分，∴，以为直径的圆经过焦点13分。
当为抛物线的顶点时，，可得中点，即圆心，，∴即，圆与直线相切。
………16分。
19、解：⑴由已知，得，，又，数列是首项为，公差为的等差数列。……9分。
证明：由⑵知10分。
若三个不同的项成等比数列，、、为非负整数，且，则，得12分。
若，则，得==，这与矛盾14分。
若，则，∵、为非负整数，∴是有理数。
20、解：⑴，令，得，或，函数的单调增区间为6分。
∵，∴设，依题意，在上是减函数。
当时，令，得：对恒成立，设，则，∵，在上是增函数，则当时，有最大值为，∴。
当时，令，得：，设，则，
在上是增函数。
综上所述16分。
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