1．朝阳 (17) （本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点。
ⅰ）求证：∥平面；
ⅱ）求证：平面；
ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值。
2．（东城） 17．（本小题满分14分）
如图1所示，在边长为12的正方形中，点**段上，且，，作，分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱．
ⅰ）求证：平面；（ⅱ求四棱锥的体积；
ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
3（海淀）17．（本小题满分14分）
如图，三棱柱中，侧面底面，且，o为中点。
ⅰ）证明：平面；（ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
ⅲ）在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置。
4（西城）17.（本小题满分14分）
在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，，
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求证：平面；
ⅲ）设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为。
5．（密云） 16（本题满分13分）
如图，棱锥p—abcd的底面abcd是矩形，pa⊥平面abcd，pa=ad=2，bd=.
ⅰ）求证：；
ⅱ）求二面角的余弦值；
）**段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由。
6．（石景山）17．（本题满分14分）
如图，已知直三棱柱，，是棱上动点，是中点 ，，
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）当是棱中点时，求证：∥平面；
ⅲ）在棱上是否存在点，使得二面角。
的大小是，若存在，求的长，若不存在，请。
说明理由。7（丰台）16、（14分）如图，在底面是正方形的四棱锥p-abcd中，面abcd，bd交ac于点e，f是pc中点，g为ac上一点。
ⅰ）求证：bdfg；
ⅱ）确定点g**段ac上的位置，使fg//平面pbd，并说明理由；
ⅲ)当二面角b-pc-d的大小为时，求pc与底面abcd所成角的正切值。
8． （怀柔）16．（本小题满分14分）
如图，已知四棱锥s—abcd的底面abcd是矩形，m、n分别是cd、sc的中点，sa⊥底面abcd，sa=ad=1，ab=．
i）求证：mn⊥平面abn；
ii）求二面角a—bn—c的余弦值．
9（密云）16（本题满分13分）
如图，棱锥p—abcd的底面abcd是矩形，pa⊥平面abcd，pa=ad=2，bd=.
ⅰ）求证：；
ⅱ）求二面角的余弦值；
）**段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由。
10（顺义）17．（本小题共14分）
已知：四棱锥中，平面，底面是菱形，且， ,的中点分别为、.
.求证。.求二面角的余弦值。
.**段上是否存在一点，使得||平面？若存在指出在上位置并给以证明，若不存在，请说明理由。
11(通州) 16．（本小题满分13分）
如图5，在底面是矩形的四棱锥中，，、分别是、的中点，，．
i）求证：∥平面；（ii）求证：平面平面；
iii）求二面角的余弦值．
答案：1．朝阳 (17) (17) 解法一：证明：（ⅰ设的交点为o,连接，连接。
因为为的中点，为的中点，所以∥且。又是中点，所以∥且，所以∥且。
所以，四边形为平行四边形。所以∥.
又平面，平面，则∥平面5分。
ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.
所以平面。因为平面，所以。
由已知得，所以，所以平面。
由（ⅰ）可知∥，所以平面。
所以。因为侧面是正方形，所以。
又，平面，平面，所以平面10分。
ⅲ）解： 取中点，连接。
在三棱柱中，因为平面，
所以侧面底面。
因为底面是正三角形，且是中点，所以，所以侧面。
所以是在平面上的射影。
所以是与平面所成角。
14分。解法二：如图所示，建立空间直角坐标系。
设边长为2，可求得，,，
ⅰ）易得， 所以， 所以∥.
又平面，平面，则∥平面。 …5分。
ⅱ）易得，，，
所以。所以。
又因为，所以平面10分。
ⅲ）设侧面的法向量为，因为， ，所以，.
由得解得。不妨令，设直线与平面所成角为．
所以。所以直线与平面所成角的正弦值为14分。
2．（东城） 17．（本小题满分14分）
ⅰ）证明：在正方形中，因为，所以三棱柱的底面三角形的边．
因为，所以，所以2分。
因为四边形为正方形，所以，而，所以平面5分。
ⅱ）解：因为平面，所以为四棱锥的高．
因为四边形为直角梯形，且，所以梯形的面积为．
所以四棱锥的体积9分。
ⅲ）解：由（ⅰ）可知，，，两两互相垂直．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
所以，设平面的一个法向量为．
则即。令，则．
所以12分。
显然平面的一个法向量为．
设平面与平面所成锐二面角为．
则．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．……14分。
3（海淀）17． （本小题满分14分）
解：（ⅰ证明：因为，且o为ac的中点，所以1分。
又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面4分。
ⅱ）如图，以o为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。
由题意可知，又。
所以得： 则有6分。
设平面的一个法向量为，则有。
令，得。所以7分。
9分。因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以10分。
ⅲ）设11分。
即，得。所以得12分。
令平面，得13分。
即得。即存在这样的点e，e为的中点14分。
4（西城）17、解：（ⅰ取的中点，连结，因为为中点，所以，且，在梯形中，所以，，四边形为平行四边形，所以2分。
平面，平面，所以平面4分。
ⅱ）平面底面，，所以平面，所以。……5分。
如图，以为原点建立空间直角坐标系。
则。………6分，所以，，…8分。
又由平面，可得，所以平面。……9分。
ⅲ）平面的法向量为，……10分，
所以，……11分。
设平面的法向量为，由，，得。
所以，所以，……12分。
所以，……13分。
注意到，得14分
5．（密云）16.（ⅰ在rt△bad中，ad=2，bd=，
ab=2，abcd为正方形，因此bd⊥ac.
pa⊥平面abcd,
bd⊥pa .,4分。
得5分。ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则，，，
易求平面的法向量为，平面的法向量为7分。
二面角的余弦值9分。
）因为在上，所以可设，
又，10分。
由（ⅱ）可知平面的法向量为，所以设与平面所成的角为，则有：
11分。所以有12分。
所以存在且13分。
6．（石景山）17．（本题满分分）
ⅰ）证明：∵三棱柱是直棱柱，∴平面。
又∵平面，1分。
∵，，是中点，2分。
又3分。∴平面4分。
ⅱ）证明：取的中点，联结，.
分别是棱、中点，又∵∥，四边形是平行四边形6分。
7分。又∵平面，平面8分。
∴∥平面9分。
ⅲ）解：以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则10分。
设，平面的法向量，则，.
且，.于是。
所以取，则12分。
三棱柱是直棱柱，平面。
又∵平面， .
∵∩，平面。
是平面的法向量，.
二面角的大小是，则13分。
解得。 在棱上存在点，使得二面角的大小是，此时14分。
7（丰台）16、（14分）如图，在底面是正方形的四棱锥p-abcd中，面abcd，bd交ac于点e，f是pc中点，g为ac上一点。
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