东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连第一次联合考试。
2023年长春市高中毕业班第二次调研测试。
数学（理科）
本试卷分第i卷（选择题）和第ii卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟，其中第ii卷22—24题为选考题，其它题为必考题。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2． 选择题必须用2b铅笔填涂；非选择体必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准确适用涂改液、刮纸刀。
第i卷（选择题，共60分）
参考公式：锥体的体积公式：，其中s是锥体的底面积，是锥体的高。
如果事件a、b互斥，那么。
如果事件a、b相互独立，那么。
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上。）
1．已知全集u和集合a，b如图所示，则。
a． b．
cd． 2．已知点、，向量，若，则实数的值为。
abc．1d．2
3．复数的共轭复数是。
a． bc． d．
已知、、为互不重合的三个平面，命题若，，则；命题若上不共线的三点到的距离相等，则。对以上两个命题，下列结论中正确的是。
a．命题“且”为真 b．命题“或”为假。
c．命题“或”为假 d．命题“且”为假。
5．已知实数、，则“”是“”的。
a．充分不必要条件 b．必要不充分条件。
c．充要条件d．既不充分也不必要条件。
6．已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是。
a． bc． d．
7．设、、分别是方程的实数根，则。
a． bc． d．
8．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程，那么表中的值为。
a．4b．3.5c．4.5d．3
9．已知点、分别是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，若为正三角形，则椭圆的离心率是。
a．2bc．3d．
10．已知程序框图如下：
如果上述程序运行的结果为，那么判断框中应填入。
ab． c． d．
12．数列满足下列条件：，且对于任意的正整数，恒有，则的值为。
a．1bc．2d．
第ii卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）
13．的展开式的系数是。
14．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出。
的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 。
15．地面上有两个同心圆（如右图），其半径分别为，1若向图中。
最大内投点且点投到图中阴影区域内的概率为，则两直线所夹锐角。
的弧度数为。
16．若的图像如图所示，定义，则下列对的性质描述正确的有。
1）是上的增函数；
3）是上的减函数；
4）使得。三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔形建筑ab，a为塔的顶端，b为塔的。
底端，河两岸的地面上任意一点与塔底端b处在同一海拔。
水平面上，现给你一架测角仪(可以测量仰角、俯角和视。
角)，再给你一把尺子(可以测量地面上两点问距离)，图。
中给出的是在一侧河岸地面c点测得仰角，请。
设计一种测量塔形建筑高度ab的方法(其中测角仪支架。
高度忽略不计，计算结果可用测量数据所设字母表示)．
18．(本小题满分12分)
从某高中人校新生中随机抽取100名学生，测得身高情况。
如下表所示。
1)请在频率分布表中的①、②位置填上相应的数据，并在所给的坐标系中补全频率。
分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；
2)按身高分层抽样，现已抽取20人参加某项活动，其中有3名学生担任迎宾工作，记。
这3名学生中“身高低于170cm”的人数为，求的分布列及期望。
19．（本小题满分12分）
如图，在直角梯形abcd中，将沿ac
折起，使平面adc平面abc
得到几何体，如图。
所示。1） 求证：平面acd
2） 求bd与平面abc所成角的正弦值。
20．(本小题满分12分)
在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，其中也是抛物线的焦点，点m为与在第一象限的焦点，且=。
1） 平面的方程；
2） 平面上的点满足，直线，且与交于a、b两点，若，求直线的方程。
21． （本小题满分12分）
已知。1） 若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
2） 求证：
请考生在第三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲。
如图，ab、cd是圆的两条平行弦，，并交cd于e，交圆于f，过a点的切线交dc的延长线于p，pc=ed=1，pa=2。
1） 求ac的长；
2） 求证：ef=be。
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
已知直线经过点，倾斜角。
1） 写出直线的参数方程；
2） 设与圆（是参数）相交于两点a、b，求点p到a、b两点的距离之积。
24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲。
已知函数。1） 若函数得值不大于1，求得取值范围；
2） 若不等式的解集为r，求的取值范围。
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