2012年深圳市高三年级第二次调研考试。
数学（理科2012.4
一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．
1．集合（其中i是虚数单位）中元素的个数是
a．1 b．2 c．4 d．无穷多个
2．设随机变量，若，则c等于
a．0 b．1 c．2 d．3
3．已知命题p：“存在正实数a,b，使得；lg（a＋b）＝lga＋lgb ”；命题q：“空间两条直线异面的充分必要条件是它们不同在任何一个平面内”．则它们的真假是
a．p，q都是真命题 b．p是真命题，q是假命题
c．p，q都是假命题 d．p是假命题，q是真命题
4．在学校的一次演讲比赛中，高。
一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这。
六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有
a．6种b．36种 c．72种 d．120种
5．设，，若a，1，b成等比数列，且c，1，d 成等差数列，则下列不等式。
恒成立的是
6．设函数若f（x）的值域为r，则常数a的取值范围是
7．如图1，直线l和圆c，当l从0 开始在平面上绕点o按逆时针方向匀速转动**动角度不超过900）时，它扫过的圆内阴影部分的面积s 是时间t的函数，这个函数的图象大致是
8．如果函数y＝｜x｜－1的图象与方程的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
一）必做题：第题为必做题．
9．在实数范围内，方程｜x｜＋｜x＋1｜＝1的解集是。
10．某机器零件的俯视图是直径为24 mm的圆（包括圆心），主。
视图和侧视图完全相同，如图2所示．则该机器零件的体积。
是___mm3（结果保留）．
11．已知平面向量a，b满足条件a＋b＝（0,1），a－b＝（－1,2），则ab＝＿＿
12．执行图3中程序框图表示的算法，若输入m=5533，n=2012，则输出d＝＿＿
注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝
13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．
根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程．
现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为。
二）选做题：第题为选做题，考生只能从中选做一题．
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线把曲线。
所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a的值是。
15．（几何证明选讲选做题）如图4，ab 是圆o的直径，
弦ad和bc 相交于点p，连接cd．若∠apb＝120°，
则等于。三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．
16．（满分12分）已知函数。
1）求f（x）的最大值；
2）设△abc中，角a、b的对边分别为a、b，若b＝2a，且 ，求角c的大小．
17．（满分12分） 深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球）， 3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回．
1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；
2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．
18．（满分14分） 如图 5，已知正方形abcd在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，其中a与a '重合，且bb'＜dd'＜cc'．
1）证明ad'//平面bb'c'c，并指出四边形ab'c'd’的形状；
2）如果四边形中ab'c'd’中，，正方形的边长为 ，求平面abcd与平面ab'c'd’所成的锐二面角的余弦值．
19．（满分14分） 已知数列满足：，且。
1）求通项公式
2）设的前n项和为s n，问：是否存在正整数m、n，使得。
若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m,n），若不存在，请说明理由．
20．（满分14分） 如图6，已知动圆m过定点f（1,0）且与x轴相切，点f 关于圆心m 的对称点为 f'，动点f’的轨迹为c．
1）求曲线c的方程；
2）设是曲线c上的一个定点，过点a任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线c相交于另外两点p 、q．
证明：直线pq的斜率为定值；
记曲线c位于p 、q两点之间的那一段为l．若点b在l上，且点b到直线pq的。
距离最大，求点b的坐标．
21．（满分14分）已知函数f（x）＝x－xlnx ， 其中表示函数f（x）在x＝a处的导数，a为正常数．
1）求g（x）的单调区间；
2）对任意的正实数，且，证明：
3）对任意的。
2012年深圳市高三年级第二次调研考试。
数学（理科）参***及评分标准 2012.4
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
一）必做题：第题为必做题．
注：第9题答案也可以写成，如果写成，不扣分．）
二）选做题：第题为选做题，考生只能从中选做一题．
14．（坐标系与参数方程选做题） 15．（几何证明选讲选做题）
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数，．
1）求的最大值；
2）设△中，角、的对边分别为、，若且，求角的大小．
解：（12分。
（注：也可以化为） …4分。
所以的最大值为6分。
注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）
2）因为，由（1）和正弦定理，得．……7分。
又，所以，即9分。
而是三角形的内角，所以，故11分。
所以12分。
17．（本小题满分12分）
深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．
1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；
2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．
解：（1）的所有可能取值为0，1，21分。
设“第一次训练时取到个新球（即）”为事件（0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以。
3分。5分。
7分。所以的分布列为（注：不列表，不扣分）
的数学期望为8分。
2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件．
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件．
而事件、、互斥，所以，．
由条件概率公式，得。
9分。10分。
11分。所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为。
12分。18．（本小题满分14分）
如图5，已知正方形在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，其中与重合，且．
1）证明平面，并指出四边形的形状；
2）如果四边形中，，，正方形的边长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
证明：（1）依题意，平面，平面，平面，所以2分。
法1）在上取点，使得，连结，，如图5－1．
因为，且，所以是平行四边形，，且．
又是正方形，，且，所以，且，故是平行四边形4分。
从而，又平面，平面，所以平面6分。
四边形是平行四边形（注：只需指出四边形的形状，不必证明）．…7分。
法2）因为，平面，平面，所以平面．
因为是正方形，所以，又平面，平面，所以平面4分。
而平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面． …6分。
四边形是平行四边形（注：只需指出四边形的形状，不必证明）．…7分。
解：（2）依题意，在rt△中，在rt△中，所以．
注：或8分。
连结，，如图5－2，在rt△中，．
所以，故．……10分。
法1）延长，相交于点，则，而，所以．
连结，则是平面与平面。
的交线．在平面内作，垂足为，连结．
因为平面，平面，所以．
从而平面，．
所以是平面与平面所成的一个锐二面角12分。
在rt△中，在rt△中，．
所以，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……14分。
法2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系（如图5－3），则平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为，因为，所以，而，所以且，即，取，则，，所以平面的一个法向量为．
注：法向量不唯一，可以是与共线的任一非零向量）……12分。
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