2024年高水平自主选拔学业能力测试。
数学。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1）在锐角中，已知，则的取值范围为（ ）
abcd.
2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红旗子在前，蓝棋子在后，满足这种情况的不同条件的不同排列方式共有（ ）
a.36种b.60种c.90种 d.120种。
3）正四棱锥中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，侧棱与地面正方形的对角线所成角为，相邻两侧面所成二面角为，则、、、之间的大小关系是（ ）
ab. cd.
4）向量，，若，，则（ ）
ab. cd.
5）若复数的实部为0，是复平面上对应的点，则点的轨迹是（ ）
a.一条直线 b.一条线段 c.一个圆d.一段圆弧。
6）椭圆长轴为4，左顶点在圆上，左准线为轴，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
abcd.
7）已知三棱锥的底面为正三角形，点在侧面上的射影是的垂心，二面角为，且，则此三棱锥的体积为（ ）
abcd.
8）如图，在锐角中，边上的高于边上的高交于点，以为直径作圆与的另一个交点为，已知，，，则的边长为（ ）
a.8b.
c.10d.
9）已知数列的通项公式为，，，是数列的前项和，则。
a.0bcd.
10）已知，，当取得最大值时，在，，…这是个数种等于的数共有。
a.1个b.2个c.3个d.4个。
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11）（本小题满分14分）
在中，，，的对边分别为，，。已知。
1）求的大小。
2）若，求的值。
12）（本小题满分14分）
已知两点，，动点在轴上的射影是，且。
1）求动点的轨迹的方程。
2）已知过点的直线交曲线于轴下方不同的两点，。设的中点为，过与点作直线，求直线斜率的取值范围。
13）（本小题满分14分）
系统中每个元素正常工作的概率都是，各元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能给你正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性。
1）某系统配置有个元件，为正整数，求该系统正常工作概率的表达式。
2）现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性。
14）（本小题满分14分）
记函数，…，证明：当是偶数时，方程没有实根：当是奇数时，方程有唯一的实根，且，15）（本小题满分14分）
某兵乓球培训班共有位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都做为搭档恰好参加过一场双打比赛，试确定的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。
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1.是正整数，任取四个其和组成的集合为，求这五个数。解 五个数任取四个应该可以得到个不同的和，现条件中只有4个不同的和，故必有两个和值相同。而这五个和值之和为，是4的倍数，所以这个相同的和值只可能是46,从而有，故这五个数分别为57 44 13,57 45 12,57 46 11,57 47 10,...