2024年“华约”
大学自主选拔学业能力测试全真模拟1
数学与逻辑
试题说明:本试题为重组试题,知识能力要求与华约数学试题相近,试题范围参照2012华约真题。
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.已知△abc的三边a,b,c成等比数列,a,b,c所对的角依次为a,b,c.则sinb+cosb的取值范围是。
a.(1,1+ b.[,1+ c.(1d.[,
2.一个口袋里有5个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是( )
a 1/2b 2/5c 3/5d 4/7
3.正四棱锥中,侧棱与底面所成的角为,侧面与底面所成的角为,侧面等腰三角形的底角为,相邻两侧面所成的二面角为,则、、、的大小关系( )
(a)(b)(c)(d)
4. 已知f(x)=|x+1|+|x+2|+…x+2007|+|x-1|+|x-2|+…x-2007|(x∈r),且f(a2-3a+2)=f(a-1).则a的值有( )
a)2个b)3个c)4个d)无数个。
5.平面上满足约束条件的点(x,y)形成的区域为d,区域d关于直线y=2x对称的区域为e,则区域d和区域e中距离最近的两面三刀点的距离为。
a. b. c. d
6. 若m、n∈,其中ai∈,i=0,1,2,并且m+n=636,则实数对(m,n)表示平面上不同点的个数为( )
a)60个 (b)70个 (c)90个 (d)120个。
7.数列定义如下:.若,则正整数的最小值为。
a 4025b 4250c 3650d 4425
8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为。
的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且”号数字涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有( )
a 96b 108c 112d120
9.设an=2n,bn=n,(n=1,2,3,。。an、bn分别为数列、的前n项和。记cn=anbn+bnan—anbn,则数列的前10项和为。
a.210+53b.2 11 +53c.110×(2 9-1) d.110×(2 10-1)
10如图,以、为顶点作正,再以和的中点为顶点作正,再以和的中点为顶点作正,…,如此继续下去.则下面选项中错误的是 (
a所作的正三角形的边长构成公比为的等比数列;
b每一个正三角形都有一个顶点在直线()上;
c第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点的坐标是;
d第个正三角形的不在第个正三角形边上的顶点的横坐标是.
2、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11.(本小题满分14分)已知双曲线:(,的离心率为2,过点()斜率为1的直线交双曲线于、两点,且,.
1)求双曲线方程;
2)设为双曲线右支上动点,为双曲线的右焦点,在轴负半轴上是否存在定点使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
12.(本小题满分14分)已知函数。
i)求。ii)已知数列满足,求数列的通项公式;
ⅲ) 求证:.
13.(本小题满分14分)设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
i) 当a=0时,f(x)≥h(x)在(1,+∞上恒成立,求实数m的取值范围;
ii) 当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a的取值范围;
iii) 是否存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由。
14.(本小题满分14分)在△abc中,设a、b、c的对。
边分别为a、b、c向量。
(1)求角a的大小;
(2)若的面积。
15.(本小题满分14分)已知m,n为正整数。
ⅰ)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;
ⅱ)对于n≥6,已知,求证,m=1,1,2…,n;
ⅲ)求出满足等式3n+4m+…+n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.
2024年“华约”
高水平大学自主选拔学业能力测试全真模拟1答案。
1.c 4.解:由题设知f(x)为偶函数,则考虑在-1≤x≤1时,恒有。
f(x)=2×(1+2+…+2007)=2008×2007.
所以当-1≤a2-3a+2≤1,且-1≤a-1≤1时,恒有f(a2-3a+2)=f(a-1).
由于不等式-1≤a2-3a+2≤1的解集为≤a≤,不等式-1≤a-1≤1的解集为0≤a≤2.因此当≤a≤2时,恒有f(a2-3a+2)=f(a-1). 故选(d).
5.(b).
6.解:由6=5+1=4+2=3+3及题设知,个位数字的选择有5种。
因为3=2+1=7+6-10,故(1) 由3=2+1知,首位数字的可能选择有2×5=10种;(2) 由3=7+6-10及5=4+1=2+3知,首位数字的可能选择有2×4=8种。 于是,符合题设的不同点的个数为5×(10+8)=90种。 故选(c).
解:首先看图形中的1,5,9,有3种可能, 当1,5,9,为其中一种颜色时,2,6共有4种可能,其中2种2,6是涂相同颜色,各有2种可能共6种可能.
4,8及7,与2,6及3,一样有6种可能并且与2,6,3,颜色无关.
当1,5,9换其他的颜色时也是相同的情况,符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种,9.(d).
解:由题意可得,每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的1/2 ,故①正确;
根据图形的规律可知每一个正三角形都有一个顶点在直线ap2x=1上,故②正确;
第六个正三角形的边长为1/64 ,故顶点p6的横坐标为63/64 ,p5的纵坐标为 /2-/8-/16 =5/16
从而顶点p6的纵坐标为5/16 +/64 =21/64 ,故c错误;
第n个正三角形的不在第n-1个正三角形边上的顶点pn的横坐标是xn,xn= ,则,故d正确.
11.(1)由双曲线离心率为2知,,,双曲线方程化为.
又直线方程为.由,得。
设,,则,.
因为,所以,.
结合,解得,.代入,得,化简得.又。
且.所以.此时,,代入①,整理得,显然该方程有两个不同的实根.符合要求.
故双曲线的方程为。
2)假设点存在,设.由(1)知,双曲线右焦点为.设()为双曲线右支上一点.
当时,,,因为,所以.
将代入,并整理得,.
于是,解得.
当时,,而时,,符合.
所以符合要求.满足条件的点存在,其坐标为.
12.解:()因为。
所以设s=(1)
s=……2)
1)+(2)得:
所以s=3012
)由两边同减去1,得。
所以,所以,是以2为公差以为首项的等差数列,所以。
因为。所以。
所以。13 解:(1)由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 即。
记,则f(x)≥h(x)在(1,+∞上恒成立等价于。
求得 当时;当时,故在x=e处取得极小值,也是最小值,即,故。
2)函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a,在[1,3]上恰有两个相异实根。
令g(x)=x-2lnx,则。
当时,,当时,g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在上是单调递增函数。
故又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
g(1)>g(3),∴只需g(2)故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)
3)存在m=,使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性。
函数f(x)的定义域为(0,+∞
若,则,函数f(x)在(0,+∞上单调递增,不合题意;
若,由可得2x2-m>0,解得x>或x<-(舍去)
故时,函数的单调递增区间为(,+
单调递减区间为(0, )而h(x)在(0,+∞上的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+
故只需=,解之得m=即当m=时,函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。
14 解(1)又。
为等腰三角形,15 解:(ⅰ证:当x=0或m=1时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明:
当x>-1,且x≠0时,m≥2,(1+x)m>1+mx.
i)当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x≠0,所以x2>0,即左边》右边,不等式①成立;
ii)假设当m=k(k≥2)时,不等式①成立,即(1+x)k>1+kx,则当m=k+1时,因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0.
于是在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x得。
1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以(1+x)k+1>1+(k+1)x,即当m=k+1时,不等式①也成立。
综上所述,所证不等式成立。
ⅱ)证:当。
而由(ⅰ)ⅲ)解:假设存在正整数成立,即有()+1. ②
又由(ⅱ)可得。
与②式矛盾,故当n≥6时,不存在满足该等式的正整数n.
故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形;
当n=1时,3≠4,等式不成立;
当n=2时,32+42=52,等式成立;
当n=3时,33+43+53=63,等式成立;
当n=4时,34+44+54+64为偶数,而74为奇数,故34+44+54+64≠74,等式不成立;
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