1.是正整数，任取四个其和组成的集合为，求这五个数。
解】五个数任取四个应该可以得到个不同的和，现条件中只有4个不同的和，故必有两个和值相同。而这五个和值之和为，是4的倍数，所以这个相同的和值只可能是46,从而有，故这五个数分别为57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11,即10,11,11,12,13.
2.乒乓球比赛，五局三胜制。任一局甲胜的概率是，甲赢得比赛的概率是，求为多少时，取得最大值。
解】若共比赛了3局，则甲赢得比赛的概率为；
若共赛了4局，则最后一局甲胜，甲赢得比赛的概率为；
若共比赛了5局，则最后一局甲胜，甲赢比赛的概率为，因此，所以，;
设，则，即，所以，又因为，所以，故，所以令时，即，得；
又因为，所以取，易知当时，时，所以当时，有唯一极大值，也是最大值。
3.函数的最大值为1,最小值为，求的值。
解】易知，令，则问题等价于在上的最大值和最小值分别为1和。
当对称轴，即时，则在上递减，则，解得。
当对称轴，即时，则，消去得，解得，舍去。
综上①②可知，为所求。
4.(1)证明的反函数为；
2),若的反函数是，证明为奇函数。
解】(1)证明：由反函数定义可知的反函数为，故，从而，所以为的反函数。
2)由的反函数是，故，则又因为，所以，代入得，所以为奇函数。
5.已知椭圆与圆，过椭圆上一点作圆的两切线，切点分别为，直线与轴分别交于点，求的最小值。
解】设，直线为点关于圆的切点弦，其方程为，从而，于是，当且仅当时，上述等号成立。
6.已知数列满足：.(1)若，求；(2)若，求证：数列有界。
解】(1)当时，则。
由累加法得，即……(1)
当时，当时，也适合；
当时，……2)
由(1)-(2)得，所以，当时，也适合；
于是。2)由，所以，于是。
由累加法得。
故，而，于是当时，有，显然也成立。
于是有上界。
7.已知求证：.
证明】原不等式等价于。
当，上述不等式左边非正，不等式成立；
当时，由及贝努力不等式，从而，即证。
2023年华约自主招生能力测试数学试题
2014年高水平大学自主选拔学业能力测试。数学与逻辑 华约 一 本小题满分10分 为五个正整数，任取四个其和组成的集合为，求 二 本小题满分15分 乒乓球比赛，甲胜的概率是，若采用五局三胜制，甲获胜的概率是，求为多少时，取得最大值 三 本小题满分15分 是的反函数，定义 求证 若，求证 为奇函数 四...
2023年自主招生华约数学试题
2010年清华大学等五校联考。1 设，若的实部为2，则其虚部为。2 设向量满足，则的最小值为。3 已知平面 平面 直线，点与平面 的夹角为，ab与m的夹角为，则m与n的夹角为。4 正四棱锥p abcd中，b1为pb的中点，d1为pd的中点，则两个棱锥a b1cd1与p abcd的体积之比。5 已知 ...
2023年华约自主招生语文数学回忆
2014 aaa测试 华约 尝鲜回忆。数学与逻辑。一。x1,x2,x3,x3,x4,x5五个数任意四个相加，所得和为集合，求x1,x2,x3,x3,x4,x5 二。五局三胜，某人胜率为p p1 2 则其获胜的概率为q,求q p最大值。三。三角函数，函数模型很简单。四。反函数与复合函数的综合证明。五。...