数学试卷（a）
时间：120分钟满分：150分。
参考公式：球的表面积s=
一、选择题：（共12小题，每小题5分，在给出的四个选项中，只有一个正确）
1、已知全集u=，则正确表示集合和关系的韦恩（venn）图是（ ）
abcd．2、已知0＜a＜2，复数(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是。
a.(1b. (1,) c.(1,3) d.(1,5)
3、设且，则锐角x为（ ）
ab． c． d．
4、下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（ ）
a. b. c. d.
5、已知是实数，则“且”是“且”的。
a．充分不必要条件 b．必要不充分条件。
c.充分必要条件 d．既不充分也不必要条件。
6、某儿童蛋糕上半部分是半球，下半部分是圆锥，三视图如右图所示，则该型号蛋糕的表面积。
ab． cd．
7、已知是等差数列，，则该数列前13项和等于
a.100b.132c.110d.156
8、由函数与函数的图像围成一个封闭图形，则这个封闭图形的面积为（ ）
9、设变量x、y满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
a、6 b、7 c、8 d、23
10、在△abc中，三个内角a，b，c所对的边为a,b,c，且。
a． b．— c． d．—
11、若定义在r上的偶函数满足且时，则方程的零点个数是 (
a. 2个 b. 3个 c. 4个d. 多于4个。
12、定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”． 现有定义在上的如下函数：
则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ）
abcd．①
二、填空题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。）
一）必选题（第题为必做题，每道试题考生都必须作答）
13、不等式的解集为。
14、如右图所示的程序框图中，若输入，则输出的结果是 ；
15、在等比数列中，已知，且。
又成等差数列，则。
16、已知均为单位向量，它们的夹角为，那么
17、设为实数，函数的导数是，且是偶函数，则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为
二）选做题题，考生只能从中选做一题）
18、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为___
19、（几何证明选讲选做题）如图，⊙的半径，是弦延长线上的一点，过点作⊙的切线，切点为，若 ，则圆心到弦的距离是
三、解答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、演算步骤）
20.(满分10分)设函数（）的图像经过点（）
1)求的解析式和最小正周期。
2)若， ,求。
21、（满分10分）为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，如右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图，其中收看时间分组区间是：,.将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
1）求图中的值；
2）从“体育迷”中随机抽取人，该人中日均收看该类体育节目时间在区间内的人数记为，求的数学期望。
22、（本小题满分13分） 右图为一简单组合体，其底面abcd为正方形，平面，，且，
1）求证：be//平面pda；
2）若n为线段的中点，求证：平面；
3）若，求平面pbe与平面abcd所成的二面角的大小．
23、（本小题满分13分）已知等差数列满足又数列中，且。
1)求数列，的通项公式；
2)若数列，的前项和分别是，且求数列的前项和；
3)若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围。
24、 （本小题满分14分）设函数（是实数）。
1)求的单调区间。
2)是否存在正数，使对一切恒成立？若存在，求的值，若不存在，说明理由。
数学试卷（a）参***。
20. 解：(1) 因为函数（）的图像经过点（），所以。
21、(1)由题设可知，
解之得。2)由题设可知收看该类体育节目时间在区间内的人数为人，
体育迷”的人数为，
所以的可能取值为。
的数学期望。
22、解：（1）证明：∵，平面，平面。
ec//平面，同理可得bc//平面p2分。
ec平面ebc,bc平面ebc且
平面//平面3分。
又∵be平面ebc ∴be//平面pda4分。
2）证法1：连结ac与bd交于点f, 连结nf，f为bd的中点，∴且6分。
又且∴且。四边形nfce为平行四边形7分，平面，面 ∴，又。
面 ∴面9分。
证法2：如图以点d为坐标原点，以ad所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，则6分，23、解： (1)设等差数列的公差为，则由题设得：
即，解得1分。
2分。数列是以为首项，公比为的等比数列。 …3分。
4分。2)由(1)可得5分。
6分。7分。
8分。得9分。
10分(3)
当时， 取最小值11分。
即 当时，恒成立12分。
当时，由 ，得 ，13分。
实数的取值范围是。 …14分。
24.解：（1）定义域为。
令。2）由（1）知，由题意，解得。
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