2024年高三数学模拟试卷（理科） 模拟--01
班级座号姓名成绩。
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．设，若（为虚数单位）为正实数，则（ ）
a．2b．1c．0d．
2．已知，，，是空间四点，命题甲：，，四点不共面，命题乙：
直线和不相交，则甲是乙成立的（ ）
a．充分不必要条件b．必要不充分条件。
c．充要条件d．既不充分也不必要条件。
3．曲线，与直线，所围成的平面区域的面积为（ ）
ab．cd．
4．下列向量中与向量平行的是（ ）
a．（-4，6） b．（4，6） c．（-3，2） d．（3，2）
5．函数是（ ）
a．奇函数b．既是奇函数又是偶函数。
c．偶函数d．既不是奇函数也不是偶函数。
6．设函数在区间内是减函数，则，，的大小关系是（ ）
a． b． c． d．
7．设为等差数列｛｝的前n项和，且，则（ ）
a．45b．50c．55d．90
8．统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是（ ）
a．20b．25%
c．6d．80%
9．将函数的图像按向量平移得到的图像对应的一个函数解析式是（ ）a． b．
c．d．
10．设，，…是1，2，…，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（ ）
a．48b．96c．144d．192
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）
11．命题“，”的否定是。
12．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组依
次记为，，，则程序运。
行结束时输出的最后一个数组为。
13．曲线在点（1，2）处的切线方程是。
14．若实数满足不等式组则3x－y的最小。
值是___15．定义：我们把阶乘的定义引申，定义，若为偶数，则乘至2，反之，则乘至1，而0!! 0。我们称。
之为双阶乘(double factorial)对夫妇任意地排成一列，则每。
位丈夫都排在他的妻子后面的概率是结果用含双。
阶乘的形式表示）
三、解答题（本大题有6小题，共74分）
16．（本题满分13分）某投资公司在2024年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和．
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
17．（本题满分13分）如图5，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，
1）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；
2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
18．（本题满分13分） 一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一圆弧，，分别与圆弧相切于，两点，∥，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是．
（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点．设，试用表示木棒的长度；
（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．
19．（本题满分13分）已知椭圆的某个焦点为，双曲线的某个焦点为．（1）请在上补充条件，使得椭圆的方程为；提示：不可以补充形如之类的条件。
（2）命题一：“已知抛物线的焦点为f，定点满足 ，以pf为直径的圆交轴于a、b，则直线pa、pb与抛物线相切”．命。
题中涉及了这么几个要素：对于任意抛物线，定点p，以pf为直径。
的圆交轴于a、b，pa、pb与抛物线相切．
试类比上述命题分别写出一个关于椭圆c和双曲线g的类似正确的命题；
（3）证明命题一的正确性．
20．（本题满分14分）已知函数。
ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；
ⅱ）若函数有三个零点，求的值；
ⅲ）若存在，使得，试求的取值范围。
21．本题有(1)、(2)、(3)三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。
(1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换。
求矩阵的特征值及对应的特征向量。
(2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程。
已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：．
ⅰ）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
ⅱ）判断直线和圆的位置关系．
(3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲。
已知函数。 若不等式恒成立，求实数的范围。
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