中南大学2024年研究生入学考试高等代数试题

中南大学。

2024年研究生入学考试试题。

考试科目：高等代数。

一、 填空题（每小题5分，共25分）

1．设。2．设，则秩。

3．设是实数域，，试写出中的正交补。

4．设是向量空间上的线性变换，向量，则在基下的坐标为。

5．取何值时，是正定二次型？

二、 （本题满分15分）设为正整数，证明整除的充要条件是整除。

三、 （本题满分15分）设都是阶矩阵，且。

证明： 秩秩。

四、 （本题满分15分）设表示数域上向量空间，是按如下方法定义的线性变换：

这里， 求线性变换的核和像以及。

五、 （本题满分20分）设是非零实方阵，是的伴随矩阵，是的转置矩阵，1．（10分）证明；

2．（10分）若是的特征值，则。

六、 （本题满分20分）求下列矩阵的特征值和特征向量：

七、 （本题满分20分）设是正定矩阵，是半正定矩阵，证明：

1．（10分）的所有根；

2．（10分）

八、 （本题满分20分）设和都是数域上向量空间，和分别是和的线性变换组成的向量空间，是到的同构映射。

1．（5分） 证明：，有；

2．（15分）证明：，这里表示同构。

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