中南大学。
2024年研究生入学考试试题。
试题类型：高等代数。
一、 填空题（每小题5分，共25分）
1、若二次型是正定的，则的取值范围为。
2、设为五阶矩阵，是的伴随矩阵，若秩秩，则秩。
3、设为四阶矩阵，且，为交换的两列得到的矩阵，则的值为。
4、设是向量空间，的线性变换，则在基下的矩阵为。
5、设线性无关，且可以由向量组线性表出，而可以由向量组线性表出，则的取值范围为。
二、 （本题满分15分）求证：整除，这里是正整数。
三、 （本题满分15分）设都是阶矩阵，则证明与有相同的特征多项式。
四、 （本题满分15分）计算级行列式。
五、 （本题满分20分）设为线性变换的特征向量，，这里为恒等变换，且向量组满足证明：向量线性无关。
六、 （本题满分20分）设是欧氏空间的一标准正交向量组，证明：有。
七、 （本题满分20分）设是维向量空间的线性变换，且证明这里表示零变换，表示象空间的维数。
八、 （本题满分20分）设为实矩阵，秩，证明：
1）（15分）是正定矩阵；
2）（5分）方程组只有零解，这里。
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中南大学2024年全国博士研究生入学考试
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