2024年普通高等学校统一考试（宁夏海南卷）
数学（理科）全解全析。
510160 广东广雅中学杨志明。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知函数y=2sin(ωx+φ)0)在区间[0，2π]的图像如下：
那么ω=（a. 1b. 2c. 1/2d. 1/3
1．选ｂ.【解析】:函数的周期，得。
点评】:本小题主要考查三间函数的基本概念和周期以及识图能力。
2、已知复数，则（ ）
a. 2 i b. －2 i c. 2 d. －2
2．选ｂ.【解析1】:
【解析2】:
点评】:本小题主要考查复数的乘法与除法运算。
3、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
a. b. cd.
3．选ｄ.【解析】: 依题意，一腰长是底边长的2倍，设底角为，则顶角为，因为，故。
点评】:本小题主要解三角形和三角变换等知识，以及分析问题和解决问题的能力。
4、设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）
a. 2b. 4c. d.
4．选ｃ.【解析】:
点评】:本小题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式。
5、右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个。
数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中。
的（ ）a. c > x b. x > c c. c > b d. b > c
5．选ａ.【解析】:由选择语句知识来确定。
点评】:本小题主要考查算法初步中的框图语言和条件语句。
这是新增知识点，要引起足够重视。
6、已知，则使得都成立的取值范围是（ ）
a.（0，） b. （0c. （0d. （0，）
6．选ｂ.【解析】:
点评】:本小题主要考查不等式的恒成立问题，解决这类问题的方法是将其转化为最值问题去处理。
abc. 2d.
7．选ｃ.【解析】:
点评】:本小题主要考查互余的诱导公式和二倍角余弦公式，以及恒等变形的能力。
8、平面向量，共线的充要条件是（ ）
a.，方向相同。
b.，两向量中至少有一个为零向量。
cd. 存在不全为零的实数，，
8．选ｄ.【解析】: 当，全不为零时，，;当，至少有一个为零时， 平面向量，共线。
点评】:本小题主要考查两个平面向量平行的充要条件。需要一定的识记能力和应变能力。
9、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ）
a. 20种b. 30种c. 40种d. 60种。
9．选ａ.【解析】: 分两步完成：
第一步，从5天中选出3天，有种，第二步，从3天中最前面的一天安排甲，再在这第3天中的第2天安排乙或丙，这有2种方法。由乘法记数原理知，共有种。
点评】:本小题主要考查两个基本原理和排列与组合应用题，解决问题的关键是合理分步。
10、由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积是（ ）
abcd.
10．选ｄ.【解析】:.
点评】:本小题主要考查定积分的简单运算和应用。
11、已知点p在抛物线y2 = 4x上，那么点p到点q（2，－1）的距离与点p到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点p的坐标为（ ）
a. （1b. （1） c. （1，2d. （1，－2）
11．选ａ.【解析】: 注意到点q（2，－1）在抛物线的内部，只需过q点作准线的垂线，交抛物线于p0,则p0即为所求。
点评】:本小题主要考查抛物线的有关知识和函数的最值。
12、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ ）
abc. 4d.
12．选ｃ.【解析】: 由棱长的两端点和某一端点的射影点可构成一个长方体，则，即，则，得。
点评】:本小题主要考查三视图的基本知识和长方体的基本性质，以及二元均值不等式的应用。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
13、已知向量，，且，则。
13．填3.【解析】:,则。
得。点评】:本小题主要考查空间向量的基本概念和基本运算。
14、过双曲线的右顶点为a，右焦点为f。过点f平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点b，则△afb的面积为。
14．填。【解析】:,则， a(3,0),f(5,0). 双曲线的渐近线方程是。
则过f(5,0),且与渐近线平行的直线方程是，解方程组得b..
点评】:本小题主要考查直线与双曲线的位置关系等知识，以及运算能力。
15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为。
15．填。【解析】: 设六棱柱的底面边长为，高为，球的半径为。则由，得。
六棱柱的体积为，得。注意到球的直径等于六棱柱的。
体对角线长，则，即，得。
点评】:本小题主要考查六棱柱和球的有关知识，以及空间想象能力。
16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
由以上数据设计了如下茎叶图：
根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
16．填以下四种的两个即可。
解析】: 1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种的纤维平均长度（或乙品种棉花的纤维平均长度普遍大于甲品种的纤维平均长度）.
2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种的纤维长度更分散（或乙品种棉花的纤维长度较甲品种的纤维长度更集中）. 甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种的纤维长度的分散程度更大).
3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm,乙品种的纤维长度的中位数为318mm.
4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多数集中在中间(均值附近). 甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外，也大致对称，其分布较均匀。
点评】:本小题主要考查茎叶图的有关知识。
三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。
17、（本小题满分12分）已知数列是一个等差数列，且，。
1）求的通项；（2）求前n项和的最大值。
17．【解析】:（1）设，则。
要使最大，只有使的各项非负。
所以，当时，.
点评】:本小题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式，以及方程的思想方法。
18、（本小题满分12分）如图，已知点p在正方体abcd－a1b1c1d1的。
对角线bd1上，∠pda=60°.
1）求dp与cc1所成角的大小；
2）求dp与平面aa1d1d所成角的大小。
18．【解析】:如图，以d为原点，da为单位长建立空间直角坐标系d-xyz.
则。连结。在平面中，延长dp交于h.
设，由已知，由。
可得。解得。
所以。i)因为，所以。
即dp与所成的角为。
ii)平面的一个法向量是。
因为，所以。
可得dp与平面所成的角为。
点评】:本小题主要考查正方体的有关知识，异面直线所成的角和直线与平面所成的角，以及空间向量的应用，以及空间想象能力。
19、（本小题满分12分）a、b两个投资项目的利润率分别为随机变量x1和x2。根据市场分析，x1和x2的分布列分别为。
1）在a、b两个项目上各投资100万元，y1和y2分别表示投资项目a和b所获得的利润，求方差dy1、dy2；（2）将x（0≤x≤100）万元投资a项目，100－x万元投资b项目，f(x)表示投资a项目所得利润的方差与投资b项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。（注：
d(ax + b) =a2dx）
19．【解析】: i)由题设可知， y1和y2的分布列分别为。
e y1=5×0.8+10×0.2=6,d y1=(5-6)2×0.
8+(10-6)2×0.2=4,ey2=2×0.2+8×0.
5+12×0.3=8,d y2=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.
5+(12-8)2×0.3=12.
ii) 当时，为最小值。
点评】:本小题主要考查随机变量的分布列、期望和方差，以及二次函数的最值。
20、（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，椭圆c1：的左、右焦点分别为f1、也是抛物线c2：的焦点，点m为c1与c2在第一象限的交点，且。
i）求c1的方程；
ii）平面上的点n满足，直线l ∥mn，且与c1交于a、b两点，若·=0，求直线l的方程。
20. 【解析】: i)由c2：知f2 (1,0). 设m点m在c2上，因为，所以，得。
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