2018--2019第一学年度高三第一次月考。
理科数学。一、选择题（共60分，每题5分共12题，请将正确的选项涂在答题卡相应位置）
1．已知集合a＝，b＝，则a∪b＝(
a． b．c． d．
解析：选c.由已知可得b＝＝＝所以a∪b＝，故选c.
2.设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(
abc. d．2
解析：z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝.选c
3．设向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的( )
a．充分不必要条件b．必要不充分条件c．充要条件d．既不充分也不必要条件。
解析：选若a⊥b，则a·b＝0，即(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，解得x＝2或x＝－，所以x＝2a⊥b，反之a⊥bx＝2或x＝－，所以“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件，故选b.
4. 二项式的展开式中，常数项的值是( )
a．240 b．60c．192d．180
解析：选a.二项式展开式的通项为tr＋1＝c (2x)6－r＝26－rcx6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，所以常数项为26－2c＝16×＝240.
5. 若等差数列和等比数列满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则。
a．1b．2c．－1d．－2
解析：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，所以＝1.
答案：1故选a
6．若实数x，y满足约束条件，则x－2y的最大值为( )
a．－9b．－3c．－1d．3
解析：选c.画出可行域，如图中阴影部分所示，令z＝x－2y，可知z＝x－2y在点(1，1)处取得最大值－1，故选c.
7．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为( )
a. b．－1或1c．1d．－1
解析：选b.当x≤0时，由－x2＋1＝0，得x＝－1；当x>0时，第一次对y赋值为3x＋2，第二次对y又赋值为－x2＋1，最后y＝－x2＋1，于是由－x2＋1＝0，得x＝1，综上知输入的x值为－1或1，故选b.
8．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是( )
解析：选易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1，且过点(1，0)，(0，1)，|f(x)|≥0.又|f(x)|在(－∞1)上单调递减，故选b.
9．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长为( )
a．1bcd．2
解析：选c.根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥vabcd，其中vb⊥底面abcd，且底面abcd是边长为1的正方形，vb＝1.
所以四棱锥中最长棱为vd.连接bd，易知bd＝，在rt△vbd中，vd＝＝.
10．设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是( )
a．a解析：选b.因为a＝60.4>1，b＝log0.40.5∈(0，1)，c＝log80.4<0，所以a>b>c.故选b.
11.已知三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面上，sc是球o的直径．若平面sca⊥平面scb，sa＝ac，sb＝bc，三棱锥sabc的体积为9，则球o的表面积为（ ）
a．18b．36c．54d．72π
解析：设球o的半径为r，因为sc为球o的直径，所以点o为sc的中点，连接ao，ob，因为sa＝ac，sb＝bc，所以ao⊥sc，bo⊥sc，因为平面sca⊥平面scb，平面sca∩平面scb＝sc，所以ao⊥平面scb，所以vsabc＝vasbc＝×s△sbc×ao＝×(sc×ob)×ao，即9＝×(2r×r)×r，解得r＝3，所以球o的表面积为s＝4πr2＝4π×32＝36π.
答案：36π 故选b
12．设f1，f2分别为椭圆＋＝1的两个焦点，点p在椭圆上，若线段pf1的中点在y轴上，则的值为( )
abcd.
解析：选b.由题意知a＝3，b＝，c＝2.
设线段pf1的中点为m，则有om∥pf2，因为om⊥f1f2，所以pf2⊥f1f2，所以|pf2|＝＝又因为|pf1|＋|pf2|＝2a＝6，所以|pf1|＝2a－|pf2|＝，所以＝×＝故选b.
二、填空题（共20分，每题5分共4题，请把正确答案写答题卡在相应位置）
13．向量a，b满足|a＋b|＝2|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为。
解析：选b.(a－b)·a＝0a2＝b·a，|a＋b|＝2|a|a2＋b2＋2a·b＝12a2b2＝9a2，所以cos〈a，b〉＝＝故选b.
14．连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为幸运数字，则幸运数字为3的概率是___
解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子3次，所含基本事件总数n＝6×6×6，要使a1＋a2＋a3＝6，则a1，a2，a3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三种情况，其所含的基本事件个数m＝a＋c＋1＝10.故幸运数字为3的概率为p＝＝.
答案：15．已知＝，tan(α－则tan
解析：因为＝，所以＝，＝1，所以tan α＝1，又因为tan(α－所以tan β＝tan
16.定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则。
解析：由定义可知a1＋a2＋…＋an＝5n2，a1＋a2＋…＋an＋an＋1＝5(n＋1)2，可求得an＋1＝10n＋5，所以an＝10n－5，则bn＝2n－1.又＝，所以。
三、解答题（共60分，每题12分共5题，请写出解答过程并将答案写在答题卡在相应位置）
17．在△abc中，∠a＝60°，c＝a.
1)求sin c的值；
2)若a＝7，求△abc的面积．
解：(1)在△abc中，因为∠a＝60°，c＝a，所以由正弦定理得sin c＝＝×
2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos a得72＝b2＋32－2b×3×，解得b＝8或b＝－5(舍)．
所以△abc的面积s＝bcsin a＝×8×3×＝6.
18．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为。
1)请完成上面的列联表；
2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”．
参考公式与临界值表：k2＝.
解：(1)列联表如下：
2)根据列联表中的数据，得到。
k2＝≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．
19．如图(1)，在△mbc中，ma是bc边上的高，ma＝3，ac＝4.如图(2)，将△mbc沿ma进行翻折，使得二面角bmac为90°，再过点b作bd∥ac，连接ad，cd，md，且ad＝2，∠cad＝30°.
1)求证：cd⊥平面mad；
2)**段md上取一点e使＝，求直线ae与平面mbd所成角的正弦值．
解：(1)证明：在△adc中，ac＝4，ad＝2，∠cad＝30°，利用余弦定理可得cd＝2，所以cd2＋ad2＝ac2，所以∠adc＝90°，即cd⊥ad.
因为ma⊥ab，ma⊥ac，ab∩ac＝a，故ma⊥平面abdc.因为cd平面abdc，所以cd⊥ma.
又ad∩ma＝a，所以cd⊥平面mad.
2)由题意可知，am、ab、ac两两垂直，∠bad＝60°.如图，以a为坐标原点，ab、ac、am所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则a(0，0，0)，b(，0，0)，d(，3，0)，m(0，0，3)，＝0，－3)，＝0，3，0)．
设e(x0，y0，z0)，由＝，得(x0，y0，z0－3)＝(3，－3)，得x0＝，y0＝1，z0＝2，所以＝.
设平面mbd的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以即。
令x＝，得n＝(，0，1)．
设直线ae与平面mbd所成的角为θ，则sin θ＝cos〈n，〉|
20．在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点f1，f2在y轴上，离心率为。过f1的直线l0交c于p，q两点，且△pqf2的周长为8.
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