一、选择题。
1．设全集为r，集合a＝，b＝，则a∩(rb)等于( )
a． b． d．
解析全集为r，b＝，则rb＝．
集合a＝，∴a∩(rb)＝．故选b.
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( )
a．6b．19c．21d．45
解析画出可行域如图中阴影部分所示(含边界)，由z＝3x＋5y得y＝－x＋.
设直线l0为y＝－x，平移直线l0，当直线y＝－x＋过点p(2,3)时，z取得最大值，zmax＝3×2＋5×3＝21.故选c.
3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为20，则输出t的值为( )
a．1b．2c．3d．4
解析输入n的值为20，第一次执行条件语句，n＝20，i＝2，＝10是整数，∴t＝0＋1＝1，i＝3＜5；
第二次执行条件语句，n＝20，i＝3，＝不是整数，∴i＝4＜5；
第三次执行条件语句，n＝20，i＝4，＝5是整数，∴t＝1＋1＝2，i＝5，此时i≥5成立，输出t＝2.故选b.
4．设x∈r，则“＜”是“x3＜1”的( )
a．充分不必要条件 b．必要不充分条件 c．充要条件d．既不充分也不必要条件。
解析由＜，得0＜x＜1，则0＜x3＜1，即“＜”x3＜1”；
由x3＜1，得x＜1，当x≤0时，≥，即“x3＜1” “
所以“＜”是“x3＜1”的充分不必要条件．故选a.
5．已知a＝，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
a．a＞b＞cb．b＞a＞cc．c＞b＞ad．c＞a＞b
解析 c＝＝log23＞log2e＝a，即c＞a.
又b＝ln 2＝＜1＜log2e＝a，即a＞b.所以c＞a＞b.故选d.
6．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )
a．在区间上单调递增b．在区间上单调递减。
c．在区间上单调递增d．在区间上单调递减。
解析函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin＝sin 2x，则函数y＝sin 2x的一个单调增区间为，一个单调减区间为。由此可判断选项a正确．
故选a.7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点．设a，b到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
a.－＝1b.－＝1c.－＝1d.－＝1
解析如图，不妨设a在b的上方，则a，b.其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3.
又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝，∴双曲线的方程为－＝1.故选c.
8.如图，在平面四边形abcd中，ab⊥bc，ad⊥cd，∠bad＝120°，ab＝ad＝1.若点e为边cd上的动点，则·的最小值为( )
abcd．3
解析如图，以d为坐标原点，da，dc所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．
连接ac，由题意知∠cad＝∠cab＝60°，∠acd＝∠acb＝30°，则d(0,0)，a(1,0)，b，c(0，)．设e(0，y)(0≤y≤)，则＝(－1，y)，＝y2－y＝＋(0≤y≤)，当y＝时，·有最小值。故选a.
二、填空题。
9．i是虚数单位，复数。
解析 ＝＝4－i.
10．在的展开式中，x2的系数为___
解析的展开式的通项为tk＋1＝x5－k·k·x－＝kx5－.令5－＝2，解得k＝2.故展开式中x2的系数为2＝.
11．已知正方体abcd－a1b1c1d1的棱长为1，除面abcd外，该正方体其余各面的中心分别为点e，f，g，h，m(如图)，则四棱锥m－efgh的体积为___
解析依题意，可知四棱锥m－efgh是一个正四棱锥，且底面边长为，高为。
故vm－efgh＝××
12．已知圆x2＋y2－2x＝0的圆心为c，直线(t为参数)与该圆相交于a，b两点，则△abc的面积为___
解析将直线的参数方程化为普通方程为y＝－x＋2.
联立方程组可求得a，b两点的坐标分别为(1,1)，(2,0)．故|ab|＝.
又圆心c到直线ab的距离d＝，故s△abc＝××
13．已知a，b∈r，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为___
解析 ∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝2×2－3＝，当且仅当时等号成立，即时取到等号．
14．已知a＞0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是___
解析作出函数f(x)的示意图，如图．l1是过原点且与抛物线y＝－x2＋2ax－2a相切的直线，l2是过原点且与抛物线y＝x2＋2ax＋a相切的直线．
由图可知，当直线y＝ax在l1，l2之间(不含直线l1，l2)变动时，符合题意．
由消去y，整理得x2－ax＋2a＝0.
由δ1＝0，得a＝8(a＝0舍去)．
由消去y，整理得x2＋ax＋a＝0.
由δ2＝0，得a＝4(a＝0舍去)．综上，得4＜a＜8.
三、解答题。
15．在△abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知bsin a＝acos.
1)求角b的大小；
2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2a－b)的值．
解 (1)在△abc中，由正弦定理＝，可得bsin a＝asin b.
又由bsin a＝acos，得asin b＝acos，即sin b＝cos，所以tan b＝.
又因为b∈(0，π)所以b＝.
2)在△abc中，由余弦定理及a＝2，c＝3，b＝，得b2＝a2＋c2－2accos b＝7，故b＝.
由bsin a＝acos，可得sin a＝ .
因为a＜c，所以cos a＝ .
因此sin 2a＝2sin acos a＝，cos 2a＝2cos2a－1＝.
所以sin(2a－b)＝sin 2acos b－cos 2asin b＝×－
16．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
用x表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量x的分布列与数学期望；
设a为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件a发生的概率．
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