2010闵行区高三数学二模试卷(文科)
一。 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内。
直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若（为虚数单位，），则。
2．对于随机事件，若，则对立事件的概率。
3．方程的解为。
4．展开式中的系数为。
5．某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：
则总体标准差的点估计值是精确到）.
6．已知球的半径为，一平面截球所得的截面面积为，球心。
到该截面的距离为，则球的体积等于。
7．根据右面的程序框图，写出它所执行的内容右图框中，第二个框太小，第三第四个框有点把内容遮挡住了，第六个框内内容向上一点。
8．已知函数的零点，则 .
9．设等差数列的前项之和满足，那么。
10．若圆的圆心到直线的距离小于，则实数。
的取值范围是。
11．定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式。如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则。
12．设函数存在反函数，且函数的图像过点，则函数的图像一定过点。
13．函数在上是减函数的一个充分非必要条件是。
14．对于自然数的正整数次幂，可以如下分解为个自然数的和的形式：
仿此，的分解中的最大数为。
二。 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位。
15．已知平面向量，，向量，则可以是
答]（ abcd).
16．已知中，,，则边长是。
答]（ a). bc). d).
17．数列中，已知，，若对任意正整数，有，且，则该数列的前2010项和。
答]（ abcd).
18． 设点在所确定区域内，则点所在的区域面积为。
[答]（ abcd).
三。 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分14分）
若复数满足：为纯虚数，且的模等于2，求复数．
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
已知函数，.
1）若，求函数的值；（2）求函数的值域。
21.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．
某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心米内的圆环面为第区、米至米的圆环面为第区、……第米至米的圆环面为第区，…，现测得第区火山灰平均每平方米为1000千克、第区每平方米的平均重量较第区减少、第区较第区又减少，以此类推，求：
1）离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量(结果精确到1千克)？
2）第几区内的火山灰总重量最大？
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分6分．
已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．
1）求边中点的轨迹方程；
2）当边通过坐标原点时，求的面积；
3）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3
小题满分8分．
在数列中，，．
1）设，证明：数列是等差数列；
2）设数列的前项和为，求的值；
3）设，数列的前项和为，，是否存在实数，使得对任意的正整数和实数，都有成立？请说明理由。
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闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试。
数学试卷参***与评分标准。
一、填空题：（每题4分） 1.-1； 2.0.35； 3.2； 4. 60； 5.17.64；
6.； 7.； 8.3； 9.8； 10.理；文（0，2）
11.； 12. 理；文（-2，4）； 13.理符合且的一个特例均可；文符合的一个特例均可； 14.理；文29.
二、选择题：（每题4分）15.； 16.； 17.； 18.
三、解答题：19.（本题满分14分）理：（1）（2分）
4分）（8分）
2）（10分），（12分）
函数的值域为14分）
文：设 (2分)因为为纯虚数 (5分)
所以（9分）解得（12分） 故复数（14分）
20.（本题满分14分）理：解法一：（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系（图略）,由得。
2分）因为（5分） 所以。 （7分）
2）因为 ，所以，又，故平面，即是平面的法向量。（9分）
设与平面所成的角为，又，设与夹角为，则， （12分）
又，故，故与平面所成的角是。 （14分）
解法二：（1）证明：因为是的中点，， 所以 （2分）
由底面，得，又，即，平面， （4分） 面， （7分）
2）联结，平面，故为与面所成角（9分）
在中，在中，，故，在中， ，又， （12分）
故与平面所成的角是14分）
文（同理19题）
21.（本题满分16分）（1）设第n区每平方米的重量为千克，则。
（2分） 第1225米位于第25区， （4分）
千克)故第1225米处每平方米火山灰约重616千克（6分）
2）设第n区内的面积为平方米，则则第n区内火山灰的总重量为（千克）（9分）
设第n区火山灰总重量最大，则， （13分）
解得，即得第50区火山灰的总重量最大16分）
22.（本题满分16分）（理）(1)设，则。
（2分） 又由≥0可得。
p(,)的轨迹方程为，轨迹c为顶点在原点，焦点为的抛物线在轴上及第一象限的内的部分4分）
2) 由已知可得 , 整理得，由，得．∵，6分）
8分）解得或(舍10分）
(3)∵∴12分）
设直线，依题意，，则，分别过p、q作pp1⊥y轴，⊥y轴，垂足分别为p1、q1，则．
由消去y得。
（14分）
、取不相等的正数，∴取等的条件不成立。
∴的取值范围是（216分）
文）解：（1）设所在直线的方程为。
由得2分）因为在椭圆上，所以．
设两点坐标分别为，中点为。
则，， 所以中点轨迹方程为4分）
2），且边通过点，故所在直线的方程为．
此时，由（1）可得，所以 （6分）
又因为边上的高等于原点到直线的距离，所以 （8分）
10分）3）由（1）得，所以12分）
又因为的长等于点到直线的距离，即． （14分）
所以．所以当时，边最长，（这时）
此时所在直线的方程为16分）
23.（本题满分18分）
理）（1）证明：由已知可得，，所以是的中点，有。
（4分）2）由（1）知当时，
+②得（6分10分）
3）当时，
又当时，所以12分）
故14分）对一切都成立，即恒成立（16分）
又，所以的取值范围是18分）
文）（12分）
故为等差数列4分）
2）由（1）可得（6分）
两式相减，得，即。
8分10分）
3）由（1）可得，（12分） ∴单调递增，即， （14分）
要使对任意正整数成立，必须且只需，即对任意恒成立。 （16分），即矛盾。
满足条件的实数不存在18分）
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