上海市2024年普通高等学校招生全国统一考试。
数学答案解析。
一、填空题。
1．【答案】18
解析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．
解：行列式．
故答案为：18．
考点】二阶行列式的定义．
2．【答案】
考点】双曲线的性质。
解析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．
解：∵双曲线的，，焦点在轴上。
而双曲线的渐近线方程为。
双曲线的渐近线方程为。
故答案为：
考点】双曲线的性质。
3．【答案】21
解析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中的系数．
解：二项式展开式的通项公式为。
令，得展开式中的系数为．
故答案为：21．
考点】二项式定理。
4．【答案】7
解析】由反函数的性质得函数的图象经过点（1,3），由此能求出．
解：∵常数，函数．
的反函数的图象经过点（3,1），函数的图象经过点（1,3），解得．
故答案为：7．
考点】反函数。
5．【答案】5
解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．
解：由，得，则．
故答案为：5．
考点】复数的模。
6．【答案】14
解析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出，，由此能求出．
解：∵等差数列的前n项和为， ，解得，．
故答案为：14．
考点】等差数列的前n项和。
7．【答案】
解析】由幂函数为奇函数，且在上递减，得到是奇数，且，由此能求出的值．
解答】解：∵，幂函数为奇函数，且在（0，+∞上递减，是奇数，且，．
故答案为：．
考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
8．【答案】
解析】据题意可设，，从而得出，即，或，并可求得，将带入上式即可求出的最小值，同理将带入，也可求出的最小值．
解答】解：根据题意，设；或。且，
当时，；的最小值为；
的最小值为，同理求出时，的最小值为．
故答案为：．
考点】平面向量数量积的性质及其运算。
9．【答案】
解析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．
解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：
5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：，故答案为：
．考点】古典概型及其概率计算公式。
10．【答案】3
解析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．
解：等比数列的通项公式为，可得，因为，所以数列的公比不是1，．
可得， 可得．
故答案为：3．
考点】数列的极限。
11．【答案】6
解析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．
解答】解：函数的图象经过点．
则：，整理得：，解得：，
由于：，所以：，由于，故：．
故答案为：6
考点】函数的图象与图象的变换。
12．【答案】
解析】设，，，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形为等边三角形，，的几何意义为点a，b两点到直线的距离与之和，由两平行线的距离可得所求最大值．
解答】解：设，由，可得a，b两点在圆上，且，即有，即三角形为等边三角形，的几何意义为点a，b两点。
到直线的距离与之和，显然a，b在第三象限，ab所在直线与直线平行，可设ab：，（由圆心o到直线ab的距离，可得，解得，即有两平行线的距离为，即的最大值为，故答案为：.
考点】基本不等式及其应用，点到直线的距离公式。
二、选择题。
13【答案】c
解析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．
考点】椭圆的性质．
14．【答案】a
专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4o：定义法；5l ：简易逻辑．
解析】“”或”，由此能求出结果．
考点】充分条件，必要条件，充要条件。
15．【答案】d
解析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．
考点】排列、组合的实际应用。
16．【答案】b
专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．
解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时或者时，都有2个与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个只能对应一个，因此只有当，此时旋转，此时满足一个只会对应一个，因此答案就选：b．
故选：b．考点】函数的图象与图象的变换。
三、解答题。
17．【答案】（1）∵圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2，圆锥的母线长为4，圆锥的体积．
2）∵，是底面半径，且，为线段的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设异面直线与所成的角为，则．
异面直线与所成的角的为．
解析】（1）由圆锥的顶点为p，底面圆心为o，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．
2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成的角．
考点】异面直线及其所成的角，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积。
18．【答案】（1）
为偶函数，2）或。或。
或或或。解析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出。
2）先求出的值，再根据三角形函数的性质即可求出．
考点】两角和与差的三角函数，二倍角的三角函数。
19．【答案】（1）由题意知，当时，即，解得或，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
2）当时，当时，当时，单调递减；
当时，单调递增；
说明该地上班族s中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．
解析】（1）由题意知求出时的取值范围即可；
2）分段求出的解析式，判断的单调性，再说明其实际意义．
考点】分段函数的应用。
20．【答案】（1）由题意可知：设，则，；
2），，则，，设的中点，则直线方程：，联立，整理得：，解得：，（舍去），的面积；
3）存在，设，，则，直线方程为，根据，则，，解得：，存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．
解析】（1）设点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得；
2）根据抛物线的性质，求得点坐标，即可求得的中点坐标，即可求得直线pf的方程，代入抛物线方程，即可求得p点坐标，即可求得的面积；
3）设及点坐标，根据直线，求得直线的方程，求得点坐标，根据，求得点坐标，则，即可求得点坐标．
考点】直线与抛物线的位置关系。
21．【答案】（1）数列与接近．
理由：是首项为1，公比为的等比数列，可得，则，可得数列与接近；
2）是一个与接近的数列，可得，数列的前四项为：，可得，可能与相等，与相等，但与不相等，与不相等，集合，中元素的个数或4；
3）是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，可得，若，取，可得，则，，，中有200个正数，符合题意；
若，取，则，可得，则，，，中有200个正数，符合题意；
若，可令，则，则，，，中恰有100个正数，符合题意；
若，若存在数列满足：与接近，即为，可得，，中无正数，不符合题意．
综上可得，的范围是．
解析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；
2）由新定义可得，求得，的范围，即可得到所求个数；
3）运用等差数列的通项公式可得，讨**差，，，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．
考点】等差数列与等比数列的综合。
2024年高考数学上海卷 答案
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