24．已知：抛物线．
1）写出抛物线的开口方向、对称轴；
2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；
3）设抛物线与y轴的交点为p，与x轴的交点为q，求直线pq的函数解析式．
考点】二次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．
分析】（1）根据二次函数的性质，写出开口方向与对称轴即可；
2）根据a是正数确定有最小值，再根据函数解析式写出最小值；
3）分别求出点p、q的坐标，再根据待定系数法求函数解析式解答．
解答】解：（1）抛物线，a= ＞0，抛物线的开口向上，对称轴为x=1；（2）∵a=＞0，函数y有最小值，最小值为－3；
3）令x=0，则 ，所以，点p的坐标为（0， ）令y=0，则，解得x1=-1，x2=3，所以，点q的坐标为（-1，0）或（3，0），当点p（0， ）q（-1，0）时，设直线pq的解析式为y=kx+b，则 ，解得 k=， b= ，所以直线pq的解析式为 ，当p（0， ）q（3，0）时，设直线pq的解析式为y=mx+n，则 ，解得 m= ，n=- 所以，直线pq的解析式为，综上所述，直线pq的解析式为y=-9 4 x-9 4 或y=3 4 x-9 4 ．
26．如图，在△abc中，ab=2，ac=bc= 5 ．
1）以ab所在的直线为x轴，ab的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出a、b、c三点的坐标；
2）求过a、b、c三点且以c为顶点的抛物线的解析式；
3）若d为抛物线上的一动点，当d点坐标为何值时，s△abd=s△abc；
4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点a′b′，与y轴交于点c′，当平移多少个单位时，点c′同时在以a′b′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）．
附：阅读材料。
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解．如解方程：y4-4y2+3=0．
解：令y2=x（x≥0），则原方程变为x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3．
当x1=1时，即y2=1，∴y1=1，y2=-1．
当x2=3，即y2=3，∴y3= 3 ，y4=- 3 ．
所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3= 3 ，y4=- 3 ．
再如 ，可设 ，用同样的方法也可求解．
考点】二次函数综合题．
分析】（1）根据y轴是ab的垂直平分线，则可以求得oa，ob的长度，在直角△oac中，利用勾股定理求得oc的长度，则a、b、c的坐标即可求解；
2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
3）首先求得△abc的面积，根据s△abd= s△abc，以及三角形的面积公式，即可求得d的纵坐标，把d的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标．
4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点c′同时在以a′b′为直径的圆上时有：oc′2=oaob，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值．
解答】解：（1）∵ab的垂直平分线为y轴，oa=ob=ab=×2=1，a的坐标是（-1，0），b的坐标是（1，0）．
在直角△oac中，则c的坐标是：（0，2）；
2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b，根据题意得： ，解得： ，则抛物线的解析式是：；
3）∵s△abc=aboc=×2×2=2，s△abd=s△abc=1．
设d的纵坐标是m，则ab|m|=1，则m=±1．
当m=1时，-2x2+2=1，解得：x=±，当m=-1时，，-2x2+2=-1，解得：x=± 则d的坐标是：（，1）或（- 1）或（，-1），或（- 1）．
4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0＜c≤1，oa′=1-c，ob′=1+c．
平移以后的抛物线的解析式是：y=-2（x-c）2+b．
令x=0，解得y=-2c2+2．即oc′= 2c2+2．
当点c′同时在以a′b′为直径的圆上时有：oc′2=oa′ob′，则（-2c2+2）2=（1-c）（1+c），即（4c2-3）（c2-1）=0，解得：c= ，舍去），1，（舍去）．
故平移或1个单位长度．
湖北省黄石市2012
25.（本小题满分10分）已知抛物线的函数解析式为，若抛物线经过点，方程的两根为，，且。
1）求抛物线的顶点坐标。
2）已知实数，请证明：≥,并说明为何值时才会有。
3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线，设，是上的两个不同点，且满足：，，请你用含有的表达式表示出△的面积，并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。
参考公式：在平面直角坐标系中，若，，则，两点间的距离为）
考点】二次函数综合题．
专题】压轴题；配方法．
分析】（1）求抛物线的顶点坐标，需要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值．已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题干给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形**化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值．
2），因此将配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证．
3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线c2的解析式；在rt△oab中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出△aob的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定△oab的最小面积值以及此时m的值，进而由待定系数法确定一次函数oa的解析式．
解答】解：（1）∵抛物线过（０,点，∴－3a＝－３
∴a分。∴ｙ＝x2＋bx－３
∵x2＋bx－３=的两根为x1,x2且＝４
＝４且b＜０
b分。ｙ＝x2－２x－３＝x－１）
抛物线ｃ１的顶点坐标为分。
2）∵x＞０，
显然当x＝１时，才有分。
3）方法一：由平移知识易得ｃ２的解析式为：y＝x2分。
ａ(m，m２)，b（n，n２）
δaob为rtδ
oa２+ob２=ab２
m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋m２－n２）２
化简得：m n分。
ｓδaob==
m n＝－１
ｓδaob＝
ｓδaob的最小值为１，此时m分。
直线oa的一次函数解析式为ｙ＝x分。
26．（10分）如图12，在平面直角坐标系xoy中，ab⊥x轴于点b，ab=3，tan∠aob=3/4。将△oab绕着原点o逆时针旋转90o，得到△oa1b1；再将△oa1b1绕着线段ob1的中点旋转180o，得到△oa2b1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点b、b1、a2。
1）求抛物线的解析式；
2）在第三象限内，抛物线上的点p在什么位置时，△pbb1的面积最大？求出这时点p的坐标；
3）在第三象限内，抛物线上是否存在点q，使点q到线段bb1的距离为？若存在，求出点q的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）∵ab⊥x轴，ab=3，tan∠aob=，∴ob=4，b（﹣4，0），b1（0，﹣4），a2（3，0）．
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点b、b1、a2，解得。
抛物线的解析式为：y=x2+x﹣4．
2）点p是第三象限内抛物线y=x2+x﹣4上的一点，如答图1，过点p作pc⊥x轴于点c．
设点p的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，n=m2+m﹣4．
于是pc=|n|=﹣n=﹣m2﹣m﹣4，oc=|m|=﹣m，bc=ob﹣oc=|﹣4|﹣|m|=4+m．
s△pbb1=s△pbc+s梯形pb1oc﹣s△obb1
×bc×pc+×（pc+ob1）×oc﹣×ob×ob1
×（4+m）×（m2﹣m﹣4）+×m2﹣m﹣4）+4]×（m）﹣×4×4
m2﹣m=（m+2）2+
当m=﹣2时，△pbb1的面积最大，这时，n=，即点p（﹣2，）．
3）假设在第三象限的抛物线上存在点q（x0，y0），使点q到线段bb1的距离为．
如答图2，过点q作qd⊥bb1于点d．
由（2）可知，此时△qbb1的面积可以表示为：（x0+2）2+，在rt△obb1中，bb1==
s△qbb1=×bb1×qd=××2，（x0+2）2+=2，解得x0=﹣1或x0=﹣3
当x0=﹣1时，y0=﹣4；当x0=﹣3时，y0=﹣2，因此，在第三象限内，抛物线上存在点q，使点q到线段bb1的距离为，这样的点q的坐标是（﹣1，﹣4）或（﹣3，﹣2）．
22．（2012广东）如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，连接bc、ac．
1）求ab和oc的长；
2）点e从点a出发，沿x轴向点b运动（点e与点a、b不重合），过点e作直线l平行bc，交ac于点d．设ae的长为m，△ade的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
3）在（2）的条件下，连接ce，求△cde面积的最大值；此时，求出以点e为圆心，与bc相切的圆的面积（结果保留π）．
考点：二次函数综合题。
解答：解：（1）已知：抛物线y=x2﹣x﹣9；
当x=0时，y=﹣9，则：c（0，﹣9）；
当y=0时，x2﹣x﹣9=0，得：x1=﹣3，x2=6，则：a（﹣3，0）、b（6，0）；
ab=9，oc=9．
2）∵ed∥bc，△aed∽△abc，=（2，即：=（2，得：s=m2（0＜m＜9）．
3）s△aec=aeoc=m，s△aed=s=m2；
则：s△edc=s△aec﹣s△aed=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+；
2019北京中考,数学,二次函数经典提高,汇编整理
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